Theorem pnpncand 11047

Description: Addition/subtraction cancellation law. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
pnpncand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pnpncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
pnpncand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pnpncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐵 − 𝐶)) + (𝐶 − 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem pnpncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnpncand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pnpncand.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pnpncand.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	2, 3	subcld 10983	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
5	1, 4	addcld 10646	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ)
6	5, 2, 3	subsub2d 11012	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐵 − 𝐶)) − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 + (𝐵 − 𝐶)) + (𝐶 − 𝐵)))
7	1, 4	pncand 10984	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐵 − 𝐶)) − (𝐵 − 𝐶)) = 𝐴)
8	6, 7	eqtr3d 2858	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐵 − 𝐶)) + (𝐶 − 𝐵)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7142  ℂcc 10521   + caddc 10526   − cmin 10856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-op 4560  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5446  df-po 5460  df-so 5461  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-ltxr 10666  df-sub 10858

This theorem is referenced by:  fprodser  15288