MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncand Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncand 10987
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
pncand (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 pncan 10881 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  cc 10524   + caddc 10529  cmin 10859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861
This theorem is referenced by:  mvlraddd  11039  mvlladdd  11040  mvrraddd  11041  addlsub  11045  pnpncand  11050  pncan1  11053  eluzmn  12239  icoshftf1o  12850  xov1plusxeqvd  12874  zesq  13577  hashdifsnp1  13844  ccatval3  13923  fsumrev2  15127  fprodp1  15313  risefacp1  15373  fallfacp1  15374  sadcp1  15794  smupp1  15819  hashdvds  16102  pythagtriplem4  16146  pythagtriplem6  16148  pythagtriplem7  16149  pythagtriplem12  16153  pythagtriplem14  16155  pcqdiv  16184  mulgdirlem  18198  cayhamlem1  21404  pjthlem1  23969  ovolicopnf  24054  i1faddlem  24223  itg1addlem4  24229  taylthlem2  24891  ulmshft  24907  efif1olem2  25054  efif1olem4  25056  logdiflbnd  25500  lgamgulmlem2  25535  lgamcvg2  25560  relgamcl  25567  ftalem2  25579  mulog2sumlem1  26038  mulog2sumlem3  26040  pntrlog2bndlem2  26082  pntrlog2bndlem4  26084  pntrlog2bndlem5  26085  colinearalglem4  26623  axpaschlem  26654  wwlksnred  27598  wwlksnext  27599  wwlksnredwwlkn  27601  wwlksnextproplem2  27617  clwlkclwwlklem2  27706  clwlkclwwlklem3  27707  clwwlkf  27754  wwlksext2clwwlk  27764  eucrct2eupth  27952  numclwwlk2lem1  28083  numclwlk2lem2f  28084  pjhthlem1  29096  fzm1ne1  30439  fzom1ne1  30451  wrdt2ind  30555  cshwrnid  30563  psgnfzto1stlem  30670  cycpmco2lem4  30699  cycpmco2lem5  30700  cycpmco2lem7  30702  madjusmdetlem2  30993  dya2icoseg  31435  fibp1  31559  ballotlemfc0  31650  ballotlemfcc  31651  ballotlemsgt1  31668  ballotlemsel1i  31670  ballotlemsima  31673  ballotlem1ri  31692  signstfvn  31739  reprsuc  31786  bcprod  32868  bccolsum  32869  unblimceq0  33744  knoppndvlem6  33754  bj-bary1lem1  34481  sin2h  34764  itg2addnclem  34825  itg2addnclem3  34827  areacirclem4  34867  ssbnd  34949  dffltz  39151  jm2.19lem4  39469  jm2.23  39473  itgpowd  39701  int-eqmvtd  40423  hashnzfzclim  40534  dvradcnv2  40559  binomcxplemnn0  40561  binomcxplemnotnn0  40568  nnsplit  41506  iccshift  41674  iooshift  41678  climinf  41767  limcperiod  41789  0ellimcdiv  41810  cncfshift  42037  cncfperiod  42042  dvdsn1add  42104  dvnmul  42108  dvnprodlem1  42111  itgiccshift  42145  itgperiod  42146  stoweidlem17  42183  wallispilem4  42234  wallispilem5  42235  stirlinglem1  42240  stirlinglem5  42244  stirlinglem6  42245  stirlinglem10  42249  dirkertrigeqlem2  42265  fourierdlem14  42287  fourierdlem19  42292  fourierdlem41  42314  fourierdlem42  42315  fourierdlem48  42320  fourierdlem49  42321  fourierdlem50  42322  fourierdlem64  42336  fourierdlem74  42346  fourierdlem75  42347  fourierdlem81  42353  fourierdlem92  42364  fourierdlem97  42369  fourierdlem103  42375  fourierdlem104  42376  fourierdlem107  42379  etransclem9  42409  nnfoctbdjlem  42618  fldivmod  44476
  Copyright terms: Public domain W3C validator