Theorem prjsperref 39332

Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is reflexive. (Contributed by Steven Nguyen, 30-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prjsperref	⊢ (𝑉 ∈ LMod → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∼ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjsperref

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspertr.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
2		prjspertr.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2820	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
4	1, 2, 3	lmod1cl 19656	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (1r‘𝑆) ∈ 𝐾)
5	4	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑆) ∈ 𝐾)
6		oveq1 7156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (1r‘𝑆) → (𝑚 · 𝑋) = ((1r‘𝑆) · 𝑋))
7	6	eqeq2d 2831	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (1r‘𝑆) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑋 = ((1r‘𝑆) · 𝑋)))
8	7	adantl 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 = (1r‘𝑆)) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑋 = ((1r‘𝑆) · 𝑋)))
9		eldifi 4096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
10		prjspertr.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
11	9, 10	eleq2s 2930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
12		eqid 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
13		prjspertr.x	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
14	12, 1, 13, 3	lmodvs1 19657	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑉)) → ((1r‘𝑆) · 𝑋) = 𝑋)
15	11, 14	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑆) · 𝑋) = 𝑋)
16	15	eqcomd 2826	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = ((1r‘𝑆) · 𝑋))
17	5, 8, 16	rspcedvd 3623	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋))
18	17	ex 415	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (𝑋 ∈ 𝐵 → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)))
19	18	pm4.71d 564	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋))))
20		pm4.24 566	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
21	20	anbi1i 625	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)))
22		prjsprel.1	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
23	22	prjsprel 39330	. . 3 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑋 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)))
24	21, 23	bitr4i 280	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑋)) ↔ 𝑋 ∼ 𝑋)
25	19, 24	syl6bb 289	1 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∼ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3138   ∖ cdif 3926  {csn 4560   class class class wbr 5059  {copab 5121  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  Basecbs 16478  Scalarcsca 16563   ·_𝑠 cvsca 16564  0_gc0g 16708  1_rcur 19246  LModclmod 19629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mgp 19235  df-ur 19247  df-ring 19294  df-lmod 19631

This theorem is referenced by:  prjsper  39334