Theorem rankr1clem 9249

Description: Lemma for rankr1c 9250. (Contributed by NM, 6-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankr1clem	⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ (rank‘𝐴)))

Proof of Theorem rankr1clem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankr1ag 9231	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
2	1	notbid 320	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ ¬ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
3		r1funlim 9195	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
4	3	simpri 488	. . . . . 6 ⊢ Lim dom 𝑅1
5		limord 6250	. . . . . 6 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Ord dom 𝑅1
7		ordelon 6215	. . . . 5 ⊢ ((Ord dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐵 ∈ On)
8	6, 7	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → 𝐵 ∈ On)
9	8	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐵 ∈ On)
10		rankon 9224	. . 3 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On
11		ontri1 6225	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ (rank‘𝐴) ∈ On) → (𝐵 ⊆ (rank‘𝐴) ↔ ¬ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
12	9, 10, 11	sylancl 588	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐵 ⊆ (rank‘𝐴) ↔ ¬ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
13	2, 12	bitr4d 284	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ (rank‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936  ∪ cuni 4838  dom cdm 5555   “ cima 5558  Ord word 6190  Oncon0 6191  Lim wlim 6192  Fun wfun 6349  ‘cfv 6355  𝑅₁cr1 9191  rankcrnk 9192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-r1 9193  df-rank 9194

This theorem is referenced by:  rankr1c  9250  ssrankr1  9264