Theorem ontri1 6227

Description: A trichotomy law for ordinal numbers. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ontri1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ontri1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6203	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 6203	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
3		ordtri1 6226	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3938  Ord word 6192  Oncon0 6193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-tr 5175  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-ord 6196  df-on 6197

This theorem is referenced by:  oneqmini  6244  onmindif  6282  onint  7512  onnmin  7520  onmindif2  7529  dfom2  7584  ondif2  8129  oaword  8177  oawordeulem  8182  oaf1o  8191  odi  8207  omeulem1  8210  oeeulem  8229  oeeui  8230  nnmword  8261  domtriord  8665  sdomel  8666  onsdominel  8668  ordunifi  8770  cantnfp1lem3  9145  oemapvali  9149  cantnflem1b  9151  cantnflem1  9154  cnfcom3lem  9168  rankr1clem  9251  rankelb  9255  rankval3b  9257  rankr1a  9267  unbndrank  9273  rankxplim3  9312  cardne  9396  carden2b  9398  cardsdomel  9405  carddom2  9408  harcard  9409  domtri2  9420  infxpenlem  9441  alephord  9503  alephord3  9506  alephle  9516  dfac12k  9575  cflim2  9687  cofsmo  9693  cfsmolem  9694  isf32lem5  9781  pwcfsdom  10007  pwfseqlem3  10084  inar1  10199  om2uzlt2i  13322  sltval2  33165  sltres  33171  nosepssdm  33192  nolt02olem  33200  nolt02o  33201  noetalem3  33221  nocvxminlem  33249  onsuct0  33791  onint1  33799  ontric3g  39895  infordmin  39906  alephiso3  39925