MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordelon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordelon 5711
Description: An element of an ordinal class is an ordinal number. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
ordelon ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Proof of Theorem ordelon
StepHypRef Expression
1 ordelord 5709 . 2 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → Ord 𝐵)
2 elong 5695 . . 3 (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ On ↔ Ord 𝐵))
32adantl 482 . 2 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → (𝐵 ∈ On ↔ Ord 𝐵))
41, 3mpbird 247 1 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1987  Ord word 5686  Oncon0 5687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pr 4872
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-ord 5690  df-on 5691
This theorem is referenced by:  onelon  5712  ordunidif  5737  ordpwsuc  6969  ordsucun  6979  ordunel  6981  ordunisuc2  6998  oesuclem  7557  odi  7611  oelim2  7627  oeoalem  7628  oeoelem  7630  limenpsi  8087  ordtypelem9  8383  oismo  8397  cantnflt  8521  cantnfp1lem3  8529  cantnflem1b  8535  cantnflem1  8538  rankr1bg  8618  rankr1clem  8635  rankr1c  8636  rankonidlem  8643  infxpenlem  8788  coflim  9035  fin23lem26  9099  fpwwe2lem8  9411  onsuct0  32117  iunord  41740
  Copyright terms: Public domain W3C validator