Theorem remul02 39284

Description: Real number version of mul02 10818 proven without ax-mulcom 10601. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
remul02	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem remul02

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-1ne2 39207	. 2 ⊢ 1 ≠ 2
2		elre0re 39203	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
3		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	remulcld 10671	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) ∈ ℝ)
5		ax-rrecex 10609	. . . . . 6 ⊢ (((0 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)
6	4, 5	sylan 582	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)
7		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)
8		df-2 11701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 = (1 + 1)
9	8	oveq1i 7166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 0) = ((1 + 1) · 0)
10		re0m0e0 39281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 −ℝ 0) = 0
11	10	eqcomi 2830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 = (0 −ℝ 0)
12	11	oveq2i 7167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 1) · 0) = ((1 + 1) · (0 −ℝ 0))
13		1re 10641	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
14	13, 13	readdcli 10656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 1) ∈ ℝ
15		sn-00idlem1 39277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 + 1) ∈ ℝ → ((1 + 1) · (0 −ℝ 0)) = ((1 + 1) −ℝ (1 + 1)))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 1) · (0 −ℝ 0)) = ((1 + 1) −ℝ (1 + 1))
17		repnpcan 39271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 + 1) −ℝ (1 + 1)) = (1 −ℝ 1))
18	13, 13, 13, 17	mp3an 1457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 + 1) −ℝ (1 + 1)) = (1 −ℝ 1)
19		re1m1e0m0 39276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0)
20	18, 19, 10	3eqtri 2848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 1) −ℝ (1 + 1)) = 0
21	12, 16, 20	3eqtri 2848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 + 1) · 0) = 0
22	9, 21	eqtr2i 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (2 · 0)
23	22	oveq1i 7166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 · 𝐴) = ((2 · 0) · 𝐴)
24	23	oveq1i 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = (((2 · 0) · 𝐴) · 𝑥)
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑥) = (((2 · 0) · 𝐴) · 𝑥))
26		2cnd 11716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 2 ∈ ℂ)
27		0cnd 10634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 0 ∈ ℂ)
28		simpll 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
29	28	recnd 10669	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	26, 27, 29	mulassd 10664	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((2 · 0) · 𝐴) = (2 · (0 · 𝐴)))
31	30	oveq1d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (((2 · 0) · 𝐴) · 𝑥) = ((2 · (0 · 𝐴)) · 𝑥))
32	4	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (0 · 𝐴) ∈ ℝ)
33	32	recnd 10669	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (0 · 𝐴) ∈ ℂ)
34		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
35	34	recnd 10669	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
36	26, 33, 35	mulassd 10664	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((2 · (0 · 𝐴)) · 𝑥) = (2 · ((0 · 𝐴) · 𝑥)))
37	25, 31, 36	3eqtrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑥) = (2 · ((0 · 𝐴) · 𝑥)))
38	7	oveq2d 7172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (2 · ((0 · 𝐴) · 𝑥)) = (2 · 1))
39		2re 11712	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
40		ax-1rid 10607	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ → (2 · 1) = 2)
41	39, 40	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → (2 · 1) = 2)
42	37, 38, 41	3eqtrd 2860	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 2)
43	7, 42	eqtr3d 2858	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑥) = 1)) → 1 = 2)
44	6, 43	rexlimddv 3291	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → 1 = 2)
45	44	ex 415	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 · 𝐴) ≠ 0 → 1 = 2))
46	45	necon1d 3038	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≠ 2 → (0 · 𝐴) = 0))
47	1, 46	mpi 20	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542  2c2 11693   −_ℝ cresub 39244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-2 11701  df-resub 39245

This theorem is referenced by:  remul01  39286