Theorem resum2sqorgt0 44745

Description: The sum of the square of two real numbers is greater than zero if at least one of the real numbers is nonzero. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
resum2sqcl.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))

Assertion

Ref	Expression
resum2sqorgt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < 𝑄)

Proof of Theorem resum2sqorgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resum2sqcl.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
2	1	resum2sqgt0 44743	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 < 𝑄)
3	2	ex 415	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℝ → 0 < 𝑄))
4	3	expcom 416	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → 0 < 𝑄)))
5	4	com23 86	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝑄)))
6		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2))
7	6	resum2sqgt0 44743	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 < ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
8	1	breq2i 5074	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 𝑄 ↔ 0 < ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
9		resqcl 13491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
10	9	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
11	10	recnd 10669	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
12		resqcl 13491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
13	12	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
14	13	recnd 10669	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
15	11, 14	addcomd 10842	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
16	15	breq2d 5078	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ↔ 0 < ((𝐵↑2) + (𝐴↑2))))
17	8, 16	syl5bb 285	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝑄 ↔ 0 < ((𝐵↑2) + (𝐴↑2))))
18	7, 17	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 < 𝑄)
19	18	ex 415	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝑄))
20	19	expcom 416	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ 0 → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝑄)))
21	5, 20	jaoi 853	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝑄)))
22	21	3imp31 1108	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  0cc0 10537   + caddc 10540   < clt 10675  2c2 11693  ↑cexp 13430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-seq 13371  df-exp 13431

This theorem is referenced by:  itsclc0xyqsolr  44805  itsclinecirc0in  44811  inlinecirc02plem  44822