MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimi2 14174
Description: Convergence at infinity of a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimi.1 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵𝑉)
rlimi.2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
rlimi.3 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
rlimi.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rlimi2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝐷,𝑧   𝑧,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem rlimi2
StepHypRef Expression
1 rlimi.1 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵𝑉)
2 rlimi.2 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
3 rlimi.3 . . 3 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
41, 2, 3rlimi 14173 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅))
5 eqid 2626 . . . . . 6 (𝑧𝐴𝐵) = (𝑧𝐴𝐵)
65fnmpt 5979 . . . . 5 (∀𝑧𝐴 𝐵𝑉 → (𝑧𝐴𝐵) Fn 𝐴)
7 fndm 5950 . . . . 5 ((𝑧𝐴𝐵) Fn 𝐴 → dom (𝑧𝐴𝐵) = 𝐴)
81, 6, 73syl 18 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑧𝐴𝐵) = 𝐴)
9 rlimss 14162 . . . . 5 ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑧𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
103, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑧𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
118, 10eqsstr3d 3624 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
12 rlimi.4 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
13 rexico 14022 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅)))
1411, 12, 13syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅)))
154, 14mpbird 247 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  wrex 2913  wss 3560   class class class wbr 4618  cmpt 4678  dom cdm 5079   Fn wfn 5845  cfv 5850  (class class class)co 6605  cr 9880  +∞cpnf 10016   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211  +crp 11776  [,)cico 12116  abscabs 13903  𝑟 crli 14145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-ico 12120  df-rlim 14149
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator