Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimi2 14174
 Description: Convergence at infinity of a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimi.1 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵𝑉)
rlimi.2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
rlimi.3 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
rlimi.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rlimi2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝐷,𝑧   𝑧,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem rlimi2
StepHypRef Expression
1 rlimi.1 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵𝑉)
2 rlimi.2 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
3 rlimi.3 . . 3 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
41, 2, 3rlimi 14173 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅))
5 eqid 2626 . . . . . 6 (𝑧𝐴𝐵) = (𝑧𝐴𝐵)
65fnmpt 5979 . . . . 5 (∀𝑧𝐴 𝐵𝑉 → (𝑧𝐴𝐵) Fn 𝐴)
7 fndm 5950 . . . . 5 ((𝑧𝐴𝐵) Fn 𝐴 → dom (𝑧𝐴𝐵) = 𝐴)
81, 6, 73syl 18 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑧𝐴𝐵) = 𝐴)
9 rlimss 14162 . . . . 5 ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑧𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
103, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑧𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
118, 10eqsstr3d 3624 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
12 rlimi.4 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
13 rexico 14022 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅)))
1411, 12, 13syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅)))
154, 14mpbird 247 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3560   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678  dom cdm 5079   Fn wfn 5845  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  ℝcr 9880  +∞cpnf 10016   < clt 10019   ≤ cle 10020   − cmin 10211  ℝ+crp 11776  [,)cico 12116  abscabs 13903   ⇝𝑟 crli 14145 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-ico 12120  df-rlim 14149 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator