MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnmpt 5919
Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mptfng.1 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
fnmpt (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉𝐹 Fn 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fnmpt
StepHypRef Expression
1 elex 3184 . . 3 (𝐵𝑉𝐵 ∈ V)
21ralimi 2935 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
3 mptfng.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
43mptfng 5918 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V ↔ 𝐹 Fn 𝐴)
52, 4sylib 206 1 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉𝐹 Fn 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  Vcvv 3172  cmpt 4637   Fn wfn 5785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pr 4828
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-fun 5792  df-fn 5793
This theorem is referenced by:  mpt0  5920  fnmptfvd  6213  ralrnmpt  6261  fmpt  6274  fmpt2d  6285  f1ocnvd  6759  offval2  6789  ofrfval2  6790  mptelixpg  7808  fifo  8198  cantnflem1  8446  infmap2  8900  compssiso  9056  gruiun  9477  mptnn0fsupp  12614  mptnn0fsuppr  12616  seqof  12675  rlimi2  14039  prdsbas3  15910  prdsbascl  15912  prdsdsval2  15913  quslem  15972  fnmrc  16036  isofn  16204  pmtrrn  17646  pmtrfrn  17647  pmtrdifwrdellem2  17671  gsummptcl  18135  mptscmfsupp0  18697  ofco2  20018  pmatcollpw2lem  20343  neif  20656  tgrest  20715  cmpfi  20963  elptr2  21129  xkoptsub  21209  ptcmplem2  21609  ptcmplem3  21610  prdsxmetlem  21924  prdsxmslem2  22085  bcth3  22853  uniioombllem6  23079  itg2const  23230  ellimc2  23364  dvrec  23441  dvmptres3  23442  ulmss  23872  ulmdvlem1  23875  ulmdvlem2  23876  ulmdvlem3  23877  itgulm2  23884  psercn  23901  f1o3d  28619  f1od2  28693  psgnfzto1stlem  28987  rmulccn  29108  esumnul  29243  esum0  29244  gsumesum  29254  ofcfval2  29299  signsplypnf  29759  signsply0  29760  matunitlindflem1  32371  matunitlindflem2  32372  cdlemk56  35073  dicfnN  35286  hbtlem7  36510  refsumcn  38008  wessf1ornlem  38162  choicefi  38183  axccdom  38207  fsumsermpt  38443  stoweidlem31  38721  stoweidlem59  38749  stirlinglem13  38776  dirkercncflem2  38794  fourierdlem62  38858  subsaliuncllem  39048  subsaliuncl  39049  hoidmvlelem3  39284  dfafn5b  39688  lincresunit2  42056
  Copyright terms: Public domain W3C validator