Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subumgredg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subumgredg2 26104
 Description: An edge of a subgraph of a multigraph connects exactly two different vertices. (Contributed by AV, 26-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
subumgredg2.v 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
subumgredg2.i 𝐼 = (iEdg‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
subumgredg2 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2})
Distinct variable groups:   𝑒,𝐼   𝑒,𝑉   𝑒,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑒)   𝐺(𝑒)

Proof of Theorem subumgredg2
StepHypRef Expression
1 subumgredg2.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
2 subumgredg2.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝑆)
3 umgruhgr 25928 . . . . 5 (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph )
433ad2ant2 1081 . . . 4 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝐺 ∈ UHGraph )
5 simp1 1059 . . . 4 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑆 SubGraph 𝐺)
6 simp3 1061 . . . 4 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ dom 𝐼)
71, 2, 4, 5, 6subgruhgredgd 26103 . . 3 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
8 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
98uhgrfun 25891 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
103, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UMGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
11103ad2ant2 1081 . . . . . 6 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → Fun (iEdg‘𝐺))
12 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝑆)
13 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
14 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (Edg‘𝑆) = (Edg‘𝑆)
1512, 13, 2, 8, 14subgrprop2 26093 . . . . . . . 8 (𝑆 SubGraph 𝐺 → ((Vtx‘𝑆) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 (Vtx‘𝑆)))
1615simp2d 1072 . . . . . . 7 (𝑆 SubGraph 𝐺𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺))
17163ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺))
18 funssfv 6176 . . . . . . 7 ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ((iEdg‘𝐺)‘𝑋) = (𝐼𝑋))
1918eqcomd 2627 . . . . . 6 ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑋) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
2011, 17, 6, 19syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑋) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
2120fveq2d 6162 . . . 4 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (#‘(𝐼𝑋)) = (#‘((iEdg‘𝐺)‘𝑋)))
22 simp2 1060 . . . . 5 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝐺 ∈ UMGraph )
232dmeqi 5295 . . . . . . . . 9 dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝑆)
2423eleq2i 2690 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆))
25 subgreldmiedg 26102 . . . . . . . . 9 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
2625ex 450 . . . . . . . 8 (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)))
2724, 26syl5bi 232 . . . . . . 7 (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)))
2827a1d 25 . . . . . 6 (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))))
29283imp 1254 . . . . 5 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
3013, 8umgredg2 25924 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → (#‘((iEdg‘𝐺)‘𝑋)) = 2)
3122, 29, 30syl2anc 692 . . . 4 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (#‘((iEdg‘𝐺)‘𝑋)) = 2)
3221, 31eqtrd 2655 . . 3 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (#‘(𝐼𝑋)) = 2)
33 fveq2 6158 . . . . 5 (𝑒 = (𝐼𝑋) → (#‘𝑒) = (#‘(𝐼𝑋)))
3433eqeq1d 2623 . . . 4 (𝑒 = (𝐼𝑋) → ((#‘𝑒) = 2 ↔ (#‘(𝐼𝑋)) = 2))
3534elrab 3351 . . 3 ((𝐼𝑋) ∈ {𝑒 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑒) = 2} ↔ ((𝐼𝑋) ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ (#‘(𝐼𝑋)) = 2))
367, 32, 35sylanbrc 697 . 2 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ {𝑒 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑒) = 2})
37 prprrab 13209 . 2 {𝑒 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑒) = 2} = {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2}
3836, 37syl6eleq 2708 1 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {crab 2912   ∖ cdif 3557   ⊆ wss 3560  ∅c0 3897  𝒫 cpw 4136  {csn 4155   class class class wbr 4623  dom cdm 5084  Fun wfun 5851  ‘cfv 5857  2c2 11030  #chash 13073  Vtxcvtx 25808  iEdgciedg 25809  Edgcedg 25873   UHGraph cuhgr 25881   UMGraph cumgr 25906   SubGraph csubgr 26086 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-hash 13074  df-edg 25874  df-uhgr 25883  df-upgr 25907  df-umgr 25908  df-subgr 26087 This theorem is referenced by:  subumgr  26107  subusgr  26108
 Copyright terms: Public domain W3C validator