MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzfbas 21450
Description: The set of upper sets of integers based at a point in a fixed upper integer set like is a filter base on , which corresponds to convergence of sequences on . (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
uzfbas.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
uzfbas (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))

Proof of Theorem uzfbas
StepHypRef Expression
1 uzfbas.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
21uzrest 21449 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤt 𝑍) = (ℤ𝑍))
3 zfbas 21448 . . . . 5 ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ)
4 0nelfb 21383 . . . . 5 (ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ) → ¬ ∅ ∈ ran ℤ)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ¬ ∅ ∈ ran ℤ
6 imassrn 5379 . . . . . 6 (ℤ𝑍) ⊆ ran ℤ
72, 6syl6eqss 3613 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤt 𝑍) ⊆ ran ℤ)
87sseld 3562 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (∅ ∈ (ran ℤt 𝑍) → ∅ ∈ ran ℤ))
95, 8mtoi 188 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ¬ ∅ ∈ (ran ℤt 𝑍))
10 uzssz 11535 . . . . 5 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
111, 10eqsstri 3593 . . . 4 𝑍 ⊆ ℤ
12 trfbas2 21395 . . . 4 ((ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ) ∧ 𝑍 ⊆ ℤ) → ((ran ℤt 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ↔ ¬ ∅ ∈ (ran ℤt 𝑍)))
133, 11, 12mp2an 703 . . 3 ((ran ℤt 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ↔ ¬ ∅ ∈ (ran ℤt 𝑍))
149, 13sylibr 222 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (ran ℤt 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))
152, 14eqeltrrd 2684 1 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194   = wceq 1474  wcel 1975  wss 3535  c0 3869  ran crn 5025  cima 5027  cfv 5786  (class class class)co 6523  cz 11206  cuz 11515  t crest 15846  fBascfbas 19497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-z 11207  df-uz 11516  df-rest 15848  df-fbas 19506
This theorem is referenced by:  lmflf  21557  caucfil  22803  cmetcaulem  22808
  Copyright terms: Public domain W3C validator