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Theorem txindislem 21609
Description: Lemma for txindis 21610. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
txindislem (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ( I ‘(𝐴 × 𝐵))

Proof of Theorem txindislem
StepHypRef Expression
1 0xp 5344 . . 3 (∅ × ( I ‘𝐵)) = ∅
2 fvprc 6334 . . . 4 𝐴 ∈ V → ( I ‘𝐴) = ∅)
32xpeq1d 5283 . . 3 𝐴 ∈ V → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = (∅ × ( I ‘𝐵)))
4 simpr 479 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
54xpeq2d 5284 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × ∅))
6 xp0 5698 . . . . . . 7 (𝐴 × ∅) = ∅
75, 6syl6eq 2798 . . . . . 6 ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
87fveq2d 6344 . . . . 5 ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 = ∅) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ( I ‘∅))
9 0ex 4930 . . . . . 6 ∅ ∈ V
10 fvi 6405 . . . . . 6 (∅ ∈ V → ( I ‘∅) = ∅)
119, 10ax-mp 5 . . . . 5 ( I ‘∅) = ∅
128, 11syl6eq 2798 . . . 4 ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 = ∅) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
13 dmexg 7250 . . . . . . . 8 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
14 dmxp 5487 . . . . . . . . 9 (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)
1514eleq1d 2812 . . . . . . . 8 (𝐵 ≠ ∅ → (dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
1613, 15syl5ib 234 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ ∅ → ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → 𝐴 ∈ V))
1716con3d 148 . . . . . 6 (𝐵 ≠ ∅ → (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ V))
1817impcom 445 . . . . 5 ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
19 fvprc 6334 . . . . 5 (¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ V → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
2018, 19syl 17 . . . 4 ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
2112, 20pm2.61dane 3007 . . 3 𝐴 ∈ V → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
221, 3, 213eqtr4a 2808 . 2 𝐴 ∈ V → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ( I ‘(𝐴 × 𝐵)))
23 xp0 5698 . . 3 (( I ‘𝐴) × ∅) = ∅
24 fvprc 6334 . . . 4 𝐵 ∈ V → ( I ‘𝐵) = ∅)
2524xpeq2d 5284 . . 3 𝐵 ∈ V → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = (( I ‘𝐴) × ∅))
26 simpr 479 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
2726xpeq1d 5283 . . . . . . 7 ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
28 0xp 5344 . . . . . . 7 (∅ × 𝐵) = ∅
2927, 28syl6eq 2798 . . . . . 6 ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
3029fveq2d 6344 . . . . 5 ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 = ∅) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ( I ‘∅))
3130, 11syl6eq 2798 . . . 4 ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 = ∅) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
32 rnexg 7251 . . . . . . . 8 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
33 rnxp 5710 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)
3433eleq1d 2812 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → (ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
3532, 34syl5ib 234 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ → ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → 𝐵 ∈ V))
3635con3d 148 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ → (¬ 𝐵 ∈ V → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ V))
3736impcom 445 . . . . 5 ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
3837, 19syl 17 . . . 4 ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
3931, 38pm2.61dane 3007 . . 3 𝐵 ∈ V → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
4023, 25, 393eqtr4a 2808 . 2 𝐵 ∈ V → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ( I ‘(𝐴 × 𝐵)))
41 fvi 6405 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ( I ‘𝐴) = 𝐴)
42 fvi 6405 . . . 4 (𝐵 ∈ V → ( I ‘𝐵) = 𝐵)
43 xpeq12 5279 . . . 4 ((( I ‘𝐴) = 𝐴 ∧ ( I ‘𝐵) = 𝐵) → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = (𝐴 × 𝐵))
4441, 42, 43syl2an 495 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = (𝐴 × 𝐵))
45 xpexg 7113 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
46 fvi 6405 . . . 4 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = (𝐴 × 𝐵))
4745, 46syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = (𝐴 × 𝐵))
4844, 47eqtr4d 2785 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ( I ‘(𝐴 × 𝐵)))
4922, 40, 48ecase 1020 1 (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ( I ‘(𝐴 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  Vcvv 3328  c0 4046   I cid 5161   × cxp 5252  dom cdm 5254  ran crn 5255  cfv 6037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fv 6045
This theorem is referenced by:  txindis  21610
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