MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xp0 5710
Description: The Cartesian product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
xp0 (𝐴 × ∅) = ∅

Proof of Theorem xp0
StepHypRef Expression
1 0xp 5356 . . 3 (∅ × 𝐴) = ∅
21cnveqi 5452 . 2 (∅ × 𝐴) =
3 cnvxp 5709 . 2 (∅ × 𝐴) = (𝐴 × ∅)
4 cnv0 5693 . 2 ∅ = ∅
52, 3, 43eqtr3i 2790 1 (𝐴 × ∅) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  c0 4058   × cxp 5264  ccnv 5265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-br 4805  df-opab 4865  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274
This theorem is referenced by:  xpnz  5711  xpdisj2  5714  difxp1  5717  dmxpss  5723  rnxpid  5725  xpcan  5728  unixp  5829  fconst5  6635  dfac5lem3  9138  xpcdaen  9197  fpwwe2lem13  9656  comfffval  16559  0ssc  16698  fuchom  16822  xpccofval  17023  frmdplusg  17592  mulgfval  17743  mulgfvi  17746  ga0  17931  symgplusg  18009  efgval  18330  psrplusg  19583  psrvscafval  19592  opsrle  19677  ply1plusgfvi  19814  txindislem  21638  txhaus  21652  0met  22372  aciunf1  29772  mbfmcst  30630  0rrv  30822  mexval  31706  mdvval  31708  mpstval  31739  dfpo2  31952  elima4  31984  finxp00  33550  isbnd3  33896  zrdivrng  34065
  Copyright terms: Public domain W3C validator