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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > xadd4d | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition, analogous to add4d 10854. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
xadd4d.1 | ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞)) |
xadd4d.2 | ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) |
xadd4d.3 | ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) |
xadd4d.4 | ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) |
Ref | Expression |
---|---|
xadd4d | ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | xadd4d.3 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) | |
2 | xadd4d.2 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) | |
3 | xadd4d.4 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) | |
4 | xaddass 12629 | . . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))) | |
5 | 1, 2, 3, 4 | syl3anc 1367 | . . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))) |
6 | 5 | oveq2d 7158 | . 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))) |
7 | xadd4d.1 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞)) | |
8 | 1 | simpld 497 | . . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*) |
9 | 3 | simpld 497 | . . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*) |
10 | 8, 9 | xaddcld 12681 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*) |
11 | xaddnemnf 12616 | . . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞) | |
12 | 1, 3, 11 | syl2anc 586 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞) |
13 | xaddass 12629 | . . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ ((𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)))) | |
14 | 7, 2, 10, 12, 13 | syl112anc 1370 | . . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)))) |
15 | 2 | simpld 497 | . . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*) |
16 | xaddcom 12620 | . . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐶)) | |
17 | 8, 15, 16 | syl2anc 586 | . . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐶)) |
18 | 17 | oveq1d 7157 | . . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷)) |
19 | xaddass 12629 | . . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷) = (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))) | |
20 | 2, 1, 3, 19 | syl3anc 1367 | . . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷) = (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))) |
21 | 18, 20 | eqtr2d 2857 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)) |
22 | 21 | oveq2d 7158 | . . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))) = (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷))) |
23 | 14, 22 | eqtrd 2856 | . 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷))) |
24 | 15, 9 | xaddcld 12681 | . . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*) |
25 | xaddnemnf 12616 | . . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞) | |
26 | 2, 3, 25 | syl2anc 586 | . . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞) |
27 | xaddass 12629 | . . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ ((𝐵 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))) | |
28 | 7, 1, 24, 26, 27 | syl112anc 1370 | . 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))) |
29 | 6, 23, 28 | 3eqtr4d 2866 | 1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 398 = wceq 1537 ∈ wcel 2114 ≠ wne 3016 (class class class)co 7142 -∞cmnf 10659 ℝ*cxr 10660 +𝑒 cxad 12492 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2793 ax-sep 5189 ax-nul 5196 ax-pow 5252 ax-pr 5316 ax-un 7447 ax-cnex 10579 ax-resscn 10580 ax-1cn 10581 ax-icn 10582 ax-addcl 10583 ax-addrcl 10584 ax-mulcl 10585 ax-mulrcl 10586 ax-mulcom 10587 ax-addass 10588 ax-mulass 10589 ax-distr 10590 ax-i2m1 10591 ax-1ne0 10592 ax-1rid 10593 ax-rnegex 10594 ax-rrecex 10595 ax-cnre 10596 ax-pre-lttri 10597 ax-pre-lttrn 10598 ax-pre-ltadd 10599 |
This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-nel 3124 df-ral 3143 df-rex 3144 df-rab 3147 df-v 3488 df-sbc 3764 df-csb 3872 df-dif 3927 df-un 3929 df-in 3931 df-ss 3940 df-nul 4280 df-if 4454 df-pw 4527 df-sn 4554 df-pr 4556 df-op 4560 df-uni 4825 df-iun 4907 df-br 5053 df-opab 5115 df-mpt 5133 df-id 5446 df-po 5460 df-so 5461 df-xp 5547 df-rel 5548 df-cnv 5549 df-co 5550 df-dm 5551 df-rn 5552 df-res 5553 df-ima 5554 df-iota 6300 df-fun 6343 df-fn 6344 df-f 6345 df-f1 6346 df-fo 6347 df-f1o 6348 df-fv 6349 df-ov 7145 df-oprab 7146 df-mpo 7147 df-1st 7675 df-2nd 7676 df-er 8275 df-en 8496 df-dom 8497 df-sdom 8498 df-pnf 10663 df-mnf 10664 df-xr 10665 df-ltxr 10666 df-xadd 12495 |
This theorem is referenced by: xnn0add4d 12684 |
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