MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  add4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem add4d 10112
Description: Rearrangement of 4 terms in a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
addd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
addd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
addd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
add4d.4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
add4d (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))

Proof of Theorem add4d
StepHypRef Expression
1 addd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 addd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 addd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 add4d.4 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5 add4 10104 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1318 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6524  cc 9787   + caddc 9792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-ov 6527  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-ltxr 9932
This theorem is referenced by:  binom3  12799  readd  13657  imadd  13665  bpoly4  14572  efi4p  14649  sadcaddlem  14960  sadadd2lem  14962  4sqlem11  15440  vdwlem6  15471  ovolunlem1a  22985  uniioombllem3  23073  itgadd  23311  itgmulc2  23320  tanarg  24083  binom4  24291  dquart  24294  quart1  24297  axeuclidlem  25557  axcontlem8  25566  vdgrfiun  26192  golem1  28317  archiabllem2c  28883  madjusmdetlem4  29027  itgaddnclem2  32439  itgaddnc  32440  itgmulc2nc  32448  dvnmul  38634  stoweidlem13  38707  sge0xaddlem1  39127  opoeALTV  39934
  Copyright terms: Public domain W3C validator