Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrgtned Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrgtned 39037
Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xrgtned.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrgtned.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrgtned.3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
xrgtned (𝜑𝐵𝐴)

Proof of Theorem xrgtned
StepHypRef Expression
1 xrgtned.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 xrgtned.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3 xrgtned.3 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
4 xrltne 11954 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
51, 2, 3, 4syl3anc 1323 1 (𝜑𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4623  *cxr 10033   < clt 10034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039
This theorem is referenced by:  xrge0nemnfd  39047  xrltned  39072  infxr  39082  ioorrnopnxrlem  39863  gsumge0cl  39925  sge0pr  39948  sge0rpcpnf  39975  sge0isum  39981
  Copyright terms: Public domain W3C validator