Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumge0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumge0cl 39925
 Description: Closure of group sum, for finitely supported nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumge0cl.1 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
gsumge0cl.2 (𝜑𝑋𝑉)
gsumge0cl.3 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
gsumge0cl.4 (𝜑𝐹 finSupp 0)
Assertion
Ref Expression
gsumge0cl (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem gsumge0cl
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12214 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 df-ss 3574 . . . . 5 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* ↔ ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (0[,]+∞))
31, 2mpbi 220 . . . 4 ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (0[,]+∞)
43eqcomi 2630 . . 3 (0[,]+∞) = ((0[,]+∞) ∩ ℝ*)
5 ovex 6643 . . . 4 (0[,]+∞) ∈ V
6 gsumge0cl.1 . . . . 5 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
7 xrsbas 19702 . . . . 5 * = (Base‘ℝ*𝑠)
86, 7ressbas 15870 . . . 4 ((0[,]+∞) ∈ V → ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (Base‘𝐺))
95, 8ax-mp 5 . . 3 ((0[,]+∞) ∩ ℝ*) = (Base‘𝐺)
104, 9eqtri 2643 . 2 (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
11 eqid 2621 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
1211xrs1cmn 19726 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd
13 cmnmnd 18148 . . . . 5 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd)
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd
15 xrge0cmn 19728 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
166, 15eqeltri 2694 . . . . 5 𝐺 ∈ CMnd
17 cmnmnd 18148 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
1816, 17ax-mp 5 . . . 4 𝐺 ∈ Mnd
1914, 18pm3.2i 471 . . 3 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd)
201sseli 3584 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21 mnfxr 10056 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ ∈ ℝ*)
23 0xr 10046 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 0 ∈ ℝ*)
25 mnflt0 11919 . . . . . . . . . . 11 -∞ < 0
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ < 0)
27 pnfxr 10052 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
2827a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
29 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
30 iccgelb 12188 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑥)
3124, 28, 29, 30syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑥)
3222, 24, 20, 26, 31xrltletrd 11952 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → -∞ < 𝑥)
3322, 20, 32xrgtned 39037 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ≠ -∞)
34 nelsn 4190 . . . . . . . 8 (𝑥 ≠ -∞ → ¬ 𝑥 ∈ {-∞})
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → ¬ 𝑥 ∈ {-∞})
3620, 35eldifd 3571 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
3736rgen 2918 . . . . 5 𝑥 ∈ (0[,]+∞)𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})
38 dfss3 3578 . . . . 5 ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
3937, 38mpbir 221 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
40 0e0iccpnf 12241 . . . 4 0 ∈ (0[,]+∞)
4139, 40pm3.2i 471 . . 3 ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))
42 difss 3721 . . . . 5 (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
4311, 7ressbas2 15871 . . . . 5 ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))))
4442, 43ax-mp 5 . . . 4 (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
4511xrs10 19725 . . . 4 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
46 xrex 11789 . . . . . . 7 * ∈ V
47 difexg 4778 . . . . . . 7 (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . 6 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
4941simpli 474 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
50 ressabs 15879 . . . . . 6 (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
5148, 49, 50mp2an 707 . . . . 5 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
526eqcomi 2630 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = 𝐺
5351, 52eqtr2i 2644 . . . 4 𝐺 = ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
5444, 45, 53submnd0 17260 . . 3 ((((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞))) → 0 = (0g𝐺))
5519, 41, 54mp2an 707 . 2 0 = (0g𝐺)
5616a1i 11 . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
57 gsumge0cl.2 . 2 (𝜑𝑋𝑉)
58 gsumge0cl.3 . 2 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
59 gsumge0cl.4 . 2 (𝜑𝐹 finSupp 0)
6010, 55, 56, 57, 58, 59gsumcl 18256 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (0[,]+∞))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2908  Vcvv 3190   ∖ cdif 3557   ∩ cin 3559   ⊆ wss 3560  {csn 4155   class class class wbr 4623  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615   finSupp cfsupp 8235  0cc0 9896  +∞cpnf 10031  -∞cmnf 10032  ℝ*cxr 10033   < clt 10034   ≤ cle 10035  [,]cicc 12136  Basecbs 15800   ↾s cress 15801  0gc0g 16040   Σg cgsu 16041  ℝ*𝑠cxrs 16100  Mndcmnd 17234  CMndccmn 18133 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-xadd 11907  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-hash 13074  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-xrs 16102  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-cntz 17690  df-cmn 18135 This theorem is referenced by:  sge0tsms  39934
 Copyright terms: Public domain W3C validator