Theorem nford 1555

Description: If in a context x is not free in ps and ch, it is not free in ( ps \/ ch ). (Contributed by Jim Kingdon, 29-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
nford.1	|- ( ph -> F/ x ps )
nford.2	|- ( ph -> F/ x ch )

Assertion

Ref	Expression
nford	|- ( ph -> F/ x ( ps \/ ch ) )

Proof of Theorem nford

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nford.1	. . . . 5 |- ( ph -> F/ x ps )
2		nford.2	. . . . 5 |- ( ph -> F/ x ch )
3		df-nf 1449	. . . . . . 7 |- ( F/ x ps <-> A. x ( ps -> A. x ps ) )
4		df-nf 1449	. . . . . . 7 |- ( F/ x ch <-> A. x ( ch -> A. x ch ) )
5	3, 4	anbi12i 456	. . . . . 6 |- ( ( F/ x ps /\ F/ x ch ) <-> ( A. x ( ps -> A. x ps ) /\ A. x ( ch -> A. x ch ) ) )
6	5	biimpi 119	. . . . 5 |- ( ( F/ x ps /\ F/ x ch ) -> ( A. x ( ps -> A. x ps ) /\ A. x ( ch -> A. x ch ) ) )
7	1, 2, 6	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x ( ps -> A. x ps ) /\ A. x ( ch -> A. x ch ) ) )
8		19.26 1469	. . . 4 |- ( A. x ( ( ps -> A. x ps ) /\ ( ch -> A. x ch ) ) <-> ( A. x ( ps -> A. x ps ) /\ A. x ( ch -> A. x ch ) ) )
9	7, 8	sylibr 133	. . 3 |- ( ph -> A. x ( ( ps -> A. x ps ) /\ ( ch -> A. x ch ) ) )
10		orc 702	. . . . . . 7 |- ( ps -> ( ps \/ ch ) )
11	10	alimi 1443	. . . . . 6 |- ( A. x ps -> A. x ( ps \/ ch ) )
12	11	imim2i 12	. . . . 5 |- ( ( ps -> A. x ps ) -> ( ps -> A. x ( ps \/ ch ) ) )
13		olc 701	. . . . . . 7 |- ( ch -> ( ps \/ ch ) )
14	13	alimi 1443	. . . . . 6 |- ( A. x ch -> A. x ( ps \/ ch ) )
15	14	imim2i 12	. . . . 5 |- ( ( ch -> A. x ch ) -> ( ch -> A. x ( ps \/ ch ) ) )
16	12, 15	jaao 709	. . . 4 |- ( ( ( ps -> A. x ps ) /\ ( ch -> A. x ch ) ) -> ( ( ps \/ ch ) -> A. x ( ps \/ ch ) ) )
17	16	alimi 1443	. . 3 |- ( A. x ( ( ps -> A. x ps ) /\ ( ch -> A. x ch ) ) -> A. x ( ( ps \/ ch ) -> A. x ( ps \/ ch ) ) )
18	9, 17	syl 14	. 2 |- ( ph -> A. x ( ( ps \/ ch ) -> A. x ( ps \/ ch ) ) )
19		df-nf 1449	. 2 |- ( F/ x ( ps \/ ch ) <-> A. x ( ( ps \/ ch ) -> A. x ( ps \/ ch ) ) )
20	18, 19	sylibr 133	1 |- ( ph -> F/ x ( ps \/ ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   A.wal 1341   F/wnf 1448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-gen 1437

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449

This theorem is referenced by:  nfifd  3547