Theorem nford 1560

Description: If in a context 𝑥 is not free in 𝜓 and 𝜒, it is not free in (𝜓 ∨ 𝜒). (Contributed by Jim Kingdon, 29-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
nford.1	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜓)
nford.2	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜒)

Assertion

Ref	Expression
nford	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥(𝜓 ∨ 𝜒))

Proof of Theorem nford

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nford.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜓)
2		nford.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜒)
3		df-nf 1454	. . . . . . 7 ⊢ (Ⅎ𝑥𝜓 ↔ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))
4		df-nf 1454	. . . . . . 7 ⊢ (Ⅎ𝑥𝜒 ↔ ∀𝑥(𝜒 → ∀𝑥𝜒))
5	3, 4	anbi12i 457	. . . . . 6 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ Ⅎ𝑥𝜒) ↔ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ ∀𝑥(𝜒 → ∀𝑥𝜒)))
6	5	biimpi 119	. . . . 5 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ Ⅎ𝑥𝜒) → (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ ∀𝑥(𝜒 → ∀𝑥𝜒)))
7	1, 2, 6	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ ∀𝑥(𝜒 → ∀𝑥𝜒)))
8		19.26 1474	. . . 4 ⊢ (∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ (𝜒 → ∀𝑥𝜒)) ↔ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ ∀𝑥(𝜒 → ∀𝑥𝜒)))
9	7, 8	sylibr 133	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ (𝜒 → ∀𝑥𝜒)))
10		orc 707	. . . . . . 7 ⊢ (𝜓 → (𝜓 ∨ 𝜒))
11	10	alimi 1448	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜓 ∨ 𝜒))
12	11	imim2i 12	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → ∀𝑥(𝜓 ∨ 𝜒)))
13		olc 706	. . . . . . 7 ⊢ (𝜒 → (𝜓 ∨ 𝜒))
14	13	alimi 1448	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥𝜒 → ∀𝑥(𝜓 ∨ 𝜒))
15	14	imim2i 12	. . . . 5 ⊢ ((𝜒 → ∀𝑥𝜒) → (𝜒 → ∀𝑥(𝜓 ∨ 𝜒)))
16	12, 15	jaao 714	. . . 4 ⊢ (((𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ (𝜒 → ∀𝑥𝜒)) → ((𝜓 ∨ 𝜒) → ∀𝑥(𝜓 ∨ 𝜒)))
17	16	alimi 1448	. . 3 ⊢ (∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ (𝜒 → ∀𝑥𝜒)) → ∀𝑥((𝜓 ∨ 𝜒) → ∀𝑥(𝜓 ∨ 𝜒)))
18	9, 17	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥((𝜓 ∨ 𝜒) → ∀𝑥(𝜓 ∨ 𝜒)))
19		df-nf 1454	. 2 ⊢ (Ⅎ𝑥(𝜓 ∨ 𝜒) ↔ ∀𝑥((𝜓 ∨ 𝜒) → ∀𝑥(𝜓 ∨ 𝜒)))
20	18, 19	sylibr 133	1 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥(𝜓 ∨ 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 703  ∀wal 1346  Ⅎwnf 1453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-gen 1442

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1454

This theorem is referenced by:  nfifd  3553