Theorem nfand 1568

Description: If in a context x is not free in ps and ch, it is not free in ( ps /\ ch ). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfand.1	|- ( ph -> F/ x ps )
nfand.2	|- ( ph -> F/ x ch )

Assertion

Ref	Expression
nfand	|- ( ph -> F/ x ( ps /\ ch ) )

Proof of Theorem nfand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfand.1	. . . 4 |- ( ph -> F/ x ps )
2		nfand.2	. . . 4 |- ( ph -> F/ x ch )
3	1, 2	jca 306	. . 3 |- ( ph -> ( F/ x ps /\ F/ x ch ) )
4		df-nf 1461	. . . . . 6 |- ( F/ x ps <-> A. x ( ps -> A. x ps ) )
5		df-nf 1461	. . . . . 6 |- ( F/ x ch <-> A. x ( ch -> A. x ch ) )
6	4, 5	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( F/ x ps /\ F/ x ch ) <-> ( A. x ( ps -> A. x ps ) /\ A. x ( ch -> A. x ch ) ) )
7		19.26 1481	. . . . 5 |- ( A. x ( ( ps -> A. x ps ) /\ ( ch -> A. x ch ) ) <-> ( A. x ( ps -> A. x ps ) /\ A. x ( ch -> A. x ch ) ) )
8	6, 7	bitr4i 187	. . . 4 |- ( ( F/ x ps /\ F/ x ch ) <-> A. x ( ( ps -> A. x ps ) /\ ( ch -> A. x ch ) ) )
9		anim12 344	. . . . . 6 |- ( ( ( ps -> A. x ps ) /\ ( ch -> A. x ch ) ) -> ( ( ps /\ ch ) -> ( A. x ps /\ A. x ch ) ) )
10		19.26 1481	. . . . . 6 |- ( A. x ( ps /\ ch ) <-> ( A. x ps /\ A. x ch ) )
11	9, 10	imbitrrdi 162	. . . . 5 |- ( ( ( ps -> A. x ps ) /\ ( ch -> A. x ch ) ) -> ( ( ps /\ ch ) -> A. x ( ps /\ ch ) ) )
12	11	alimi 1455	. . . 4 |- ( A. x ( ( ps -> A. x ps ) /\ ( ch -> A. x ch ) ) -> A. x ( ( ps /\ ch ) -> A. x ( ps /\ ch ) ) )
13	8, 12	sylbi 121	. . 3 |- ( ( F/ x ps /\ F/ x ch ) -> A. x ( ( ps /\ ch ) -> A. x ( ps /\ ch ) ) )
14	3, 13	syl 14	. 2 |- ( ph -> A. x ( ( ps /\ ch ) -> A. x ( ps /\ ch ) ) )
15		df-nf 1461	. 2 |- ( F/ x ( ps /\ ch ) <-> A. x ( ( ps /\ ch ) -> A. x ( ps /\ ch ) ) )
16	14, 15	sylibr 134	1 |- ( ph -> F/ x ( ps /\ ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1351   F/wnf 1460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1447  ax-gen 1449

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1461

This theorem is referenced by:  nf3and  1569  nfbid  1588  nfsbxy  1942  nfsbxyt  1943  nfeld  2335  nfrexdxy  2511  nfreudxy  2651  nfifd  3563  nfriotadxy  5841  bdsepnft  14678  strcollnft  14775