Theorem 2alsraln0 50623

Description: Nested general "all some" quantifiers with class membership as their antecedents: 𝜑 holds for every 𝑥 in 𝐴 and every 𝑦 in 𝐵, and both 𝐴 and 𝐵 are not empty. (Contributed by Peter Mazsa, 28-May-2019.) (Revised by David A. Wheeler, 15-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
2alsraln0	⊢ (∀∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝜑)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem 2alsraln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biid 264	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)
2		alsraln0 50619	. . 3 ⊢ (∀∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝜑) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
3	1, 2	alsbii 50606	. 2 ⊢ (∀∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝜑)) ↔ ∀∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
4		alsraln0 50619	. . 3 ⊢ (∀∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
5		r19.27zv 4471	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
6	5	pm5.32ri 585	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
7		anass 473	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ ∅)))
8		ancom 465	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
9	8	anbi2i 634	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
10	7, 9	bitri 278	. . . 4 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
11	6, 10	bitri 278	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
12	4, 11	bitri 278	. 2 ⊢ (∀∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
13	3, 12	bitri 278	1 ⊢ (∀∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝜑)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∅c0 4285  ∀∃wals 50592

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-9 2152  ax-12 2212  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-dif 3907  df-nul 4286  df-als 50594

This theorem is used by:  2alsraln0id  50624