Theorem 2reu5lem2 3717

Description: Lemma for 2reu5 3719. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2reu5lem2	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥∃*𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem 2reu5lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rmo 3369	. . 3 ⊢ (∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
2	1	ralbii 3112	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
3		df-ral 3081	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
4		moanimv 2647	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
5	4	bicomi 227	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ ∃*𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
6		3anass 1111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
7	6	bicomi 227	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
8	7	mobii 2576	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ ∃*𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
9	5, 8	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ ∃*𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
10	9	albii 1852	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ ∀𝑥∃*𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
11	3, 10	bitri 278	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ ∀𝑥∃*𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
12	2, 11	bitri 278	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥∃*𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   ∈ wcel 2147  ∃*wmo 2565  ∀wral 3080  ∃*wrmo 3368

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-3an 1105  df-ex 1813  df-mo 2567  df-ral 3081  df-rmo 3369

This theorem is used by:  2reu5lem3  3718  fwfffun  35784  srepdflem1  36084  srepdflem2  36085