Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3orbi123VD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3orbi123VD 39835
Description: Virtual deduction proof of 3orbi123 39486. The following user's proof is completed by invoking mmj2's unify command and using mmj2's StepSelector to pick all remaining steps of the Metamath proof.
1:: (   ((𝜑𝜓) ∧ (𝜒𝜃) ∧ (𝜏𝜂))   ▶   ((𝜑𝜓) ∧ (𝜒𝜃) ∧ (𝜏𝜂))   )
2:1,?: e1a 39611 (   ((𝜑𝜓) ∧ (𝜒𝜃) ∧ (𝜏𝜂))   ▶   (𝜑𝜓)   )
3:1,?: e1a 39611 (   ((𝜑𝜓) ∧ (𝜒𝜃) ∧ (𝜏𝜂))   ▶   (𝜒𝜃)   )
4:1,?: e1a 39611 (   ((𝜑𝜓) ∧ (𝜒𝜃) ∧ (𝜏𝜂))   ▶   (𝜏𝜂)   )
5:2,3,?: e11 39672 (   ((𝜑𝜓) ∧ (𝜒𝜃) ∧ (𝜏𝜂))   ▶   ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))   )
6:5,4,?: e11 39672 (   ((𝜑𝜓) ∧ (𝜒𝜃) ∧ (𝜏𝜂))   ▶   (((𝜑𝜒) ∨ 𝜏) ↔ ((𝜓𝜃) 𝜂))   )
7:?: (((𝜑𝜒) ∨ 𝜏) ↔ (𝜑 𝜒𝜏))
8:6,7,?: e10 39678 (   ((𝜑𝜓) ∧ (𝜒𝜃) ∧ (𝜏𝜂))   ▶   ((𝜑𝜒𝜏) ↔ ((𝜓𝜃) 𝜂))   )
9:?: (((𝜓𝜃) ∨ 𝜂) ↔ (𝜓𝜃𝜂))
10:8,9,?: e10 39678 (   ((𝜑𝜓) ∧ (𝜒 𝜃) ∧ (𝜏𝜂))   ▶   ((𝜑𝜒𝜏) ↔ (𝜓 𝜃𝜂))   )
qed:10: (((𝜑𝜓) ∧ (𝜒𝜃) ∧ (𝜏𝜂)) → ((𝜑𝜒𝜏) ↔ (𝜓𝜃 𝜂)))
(Contributed by Alan Sare, 31-Dec-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
3orbi123VD (((𝜑𝜓) ∧ (𝜒𝜃) ∧ (𝜏𝜂)) → ((𝜑𝜒𝜏) ↔ (𝜓𝜃𝜂)))

Proof of Theorem 3orbi123VD
StepHypRef Expression
1 idn1 39549 . . . . . . 7 (   ((𝜑𝜓) ∧ (𝜒𝜃) ∧ (𝜏𝜂))   ▶   ((𝜑𝜓) ∧ (𝜒𝜃) ∧ (𝜏𝜂))   )
2 simp1 1167 . . . . . . 7 (((𝜑𝜓) ∧ (𝜒𝜃) ∧ (𝜏𝜂)) → (𝜑𝜓))
31, 2e1a 39611 . . . . . 6 (   ((𝜑𝜓) ∧ (𝜒𝜃) ∧ (𝜏𝜂))   ▶   (𝜑𝜓)   )
4 simp2 1168 . . . . . . 7 (((𝜑𝜓) ∧ (𝜒𝜃) ∧ (𝜏𝜂)) → (𝜒𝜃))
51, 4e1a 39611 . . . . . 6 (   ((𝜑𝜓) ∧ (𝜒𝜃) ∧ (𝜏𝜂))   ▶   (𝜒𝜃)   )
6 pm4.39 1000 . . . . . . 7 (((𝜑𝜓) ∧ (𝜒𝜃)) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃)))
76ex 402 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))))
83, 5, 7e11 39672 . . . . 5 (   ((𝜑𝜓) ∧ (𝜒𝜃) ∧ (𝜏𝜂))   ▶   ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))   )
9 simp3 1169 . . . . . 6 (((𝜑𝜓) ∧ (𝜒𝜃) ∧ (𝜏𝜂)) → (𝜏𝜂))
101, 9e1a 39611 . . . . 5 (   ((𝜑𝜓) ∧ (𝜒𝜃) ∧ (𝜏𝜂))   ▶   (𝜏𝜂)   )
11 pm4.39 1000 . . . . . 6 ((((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃)) ∧ (𝜏𝜂)) → (((𝜑𝜒) ∨ 𝜏) ↔ ((𝜓𝜃) ∨ 𝜂)))
1211ex 402 . . . . 5 (((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃)) → ((𝜏𝜂) → (((𝜑𝜒) ∨ 𝜏) ↔ ((𝜓𝜃) ∨ 𝜂))))
138, 10, 12e11 39672 . . . 4 (   ((𝜑𝜓) ∧ (𝜒𝜃) ∧ (𝜏𝜂))   ▶   (((𝜑𝜒) ∨ 𝜏) ↔ ((𝜓𝜃) ∨ 𝜂))   )
14 df-3or 1109 . . . . 5 ((𝜑𝜒𝜏) ↔ ((𝜑𝜒) ∨ 𝜏))
1514bicomi 216 . . . 4 (((𝜑𝜒) ∨ 𝜏) ↔ (𝜑𝜒𝜏))
16 bitr3 344 . . . . 5 ((((𝜑𝜒) ∨ 𝜏) ↔ (𝜑𝜒𝜏)) → ((((𝜑𝜒) ∨ 𝜏) ↔ ((𝜓𝜃) ∨ 𝜂)) → ((𝜑𝜒𝜏) ↔ ((𝜓𝜃) ∨ 𝜂))))
1716com12 32 . . . 4 ((((𝜑𝜒) ∨ 𝜏) ↔ ((𝜓𝜃) ∨ 𝜂)) → ((((𝜑𝜒) ∨ 𝜏) ↔ (𝜑𝜒𝜏)) → ((𝜑𝜒𝜏) ↔ ((𝜓𝜃) ∨ 𝜂))))
1813, 15, 17e10 39678 . . 3 (   ((𝜑𝜓) ∧ (𝜒𝜃) ∧ (𝜏𝜂))   ▶   ((𝜑𝜒𝜏) ↔ ((𝜓𝜃) ∨ 𝜂))   )
19 df-3or 1109 . . . 4 ((𝜓𝜃𝜂) ↔ ((𝜓𝜃) ∨ 𝜂))
2019bicomi 216 . . 3 (((𝜓𝜃) ∨ 𝜂) ↔ (𝜓𝜃𝜂))
21 bitr 840 . . . 4 ((((𝜑𝜒𝜏) ↔ ((𝜓𝜃) ∨ 𝜂)) ∧ (((𝜓𝜃) ∨ 𝜂) ↔ (𝜓𝜃𝜂))) → ((𝜑𝜒𝜏) ↔ (𝜓𝜃𝜂)))
2221ex 402 . . 3 (((𝜑𝜒𝜏) ↔ ((𝜓𝜃) ∨ 𝜂)) → ((((𝜓𝜃) ∨ 𝜂) ↔ (𝜓𝜃𝜂)) → ((𝜑𝜒𝜏) ↔ (𝜓𝜃𝜂))))
2318, 20, 22e10 39678 . 2 (   ((𝜑𝜓) ∧ (𝜒𝜃) ∧ (𝜏𝜂))   ▶   ((𝜑𝜒𝜏) ↔ (𝜓𝜃𝜂))   )
2423in1 39546 1 (((𝜑𝜓) ∧ (𝜒𝜃) ∧ (𝜏𝜂)) → ((𝜑𝜒𝜏) ↔ (𝜓𝜃𝜂)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wo 874  w3o 1107  w3a 1108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-vd1 39545
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator