Theorem sbc3orgVD 44290

Description: Virtual deduction proof of the analogue of sbcor 3830 with three disjuncts. The following user's proof is completed by invoking mmj2's unify command and using mmj2's StepSelector to pick all remaining steps of the Metamath proof.

1::	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   𝐴 ∈ 𝐵   )
2:1,?: e1a 44066	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]((𝜑 ∨ 𝜓) ∨ 𝜒) ↔ ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒))   )
3::	⊢ (((𝜑 ∨ 𝜓) ∨ 𝜒) ↔ (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒))
32:3:	⊢ ∀𝑥(((𝜑 ∨ 𝜓) ∨ 𝜒) ↔ (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒))
33:1,32,?: e10 44133	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   [𝐴 / 𝑥](((𝜑 ∨ 𝜓) ∨ 𝜒) ↔ (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒))   )
4:1,33,?: e11 44127	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]((𝜑 ∨ 𝜓) ∨ 𝜒) ↔ [𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒))   )
5:2,4,?: e11 44127	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ↔ ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒))   )
6:1,?: e1a 44066	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓))   )
7:6,?: e1a 44066	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   (([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒) ↔ (([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒))   )
8:5,7,?: e11 44127	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ↔ (([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒))   )
9:?:	⊢ ((([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒))
10:8,9,?: e10 44133	⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒))   )
qed:10:	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒)))

(Contributed by Alan Sare, 31-Dec-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sbc3orgVD	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒)))

Proof of Theorem sbc3orgVD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idn1 44013	. . . . . 6 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   𝐴 ∈ 𝐵   )
2		sbcor 3830	. . . . . . 7 ⊢ ([𝐴 / 𝑥]((𝜑 ∨ 𝜓) ∨ 𝜒) ↔ ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒))
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]((𝜑 ∨ 𝜓) ∨ 𝜒) ↔ ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒)))
4	1, 3	e1a 44066	. . . . 5 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]((𝜑 ∨ 𝜓) ∨ 𝜒) ↔ ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒))   )
5		df-3or 1086	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ↔ ((𝜑 ∨ 𝜓) ∨ 𝜒))
6	5	bicomi 223	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∨ 𝜓) ∨ 𝜒) ↔ (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒))
7	6	ax-gen 1790	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑥(((𝜑 ∨ 𝜓) ∨ 𝜒) ↔ (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒))
8		spsbc 3789	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥(((𝜑 ∨ 𝜓) ∨ 𝜒) ↔ (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒)) → [𝐴 / 𝑥](((𝜑 ∨ 𝜓) ∨ 𝜒) ↔ (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒))))
9	1, 7, 8	e10 44133	. . . . . 6 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   [𝐴 / 𝑥](((𝜑 ∨ 𝜓) ∨ 𝜒) ↔ (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒))   )
10		sbcbig 3831	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ([𝐴 / 𝑥](((𝜑 ∨ 𝜓) ∨ 𝜒) ↔ (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒)) ↔ ([𝐴 / 𝑥]((𝜑 ∨ 𝜓) ∨ 𝜒) ↔ [𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒))))
11	10	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ([𝐴 / 𝑥](((𝜑 ∨ 𝜓) ∨ 𝜒) ↔ (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒)) → ([𝐴 / 𝑥]((𝜑 ∨ 𝜓) ∨ 𝜒) ↔ [𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒))))
12	1, 9, 11	e11 44127	. . . . 5 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥]((𝜑 ∨ 𝜓) ∨ 𝜒) ↔ [𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒))   )
13		bitr3 352	. . . . . 6 ⊢ (([𝐴 / 𝑥]((𝜑 ∨ 𝜓) ∨ 𝜒) ↔ [𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒)) → (([𝐴 / 𝑥]((𝜑 ∨ 𝜓) ∨ 𝜒) ↔ ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒)) → ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ↔ ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒))))
14	13	com12 32	. . . . 5 ⊢ (([𝐴 / 𝑥]((𝜑 ∨ 𝜓) ∨ 𝜒) ↔ ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒)) → (([𝐴 / 𝑥]((𝜑 ∨ 𝜓) ∨ 𝜒) ↔ [𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒)) → ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ↔ ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒))))
15	4, 12, 14	e11 44127	. . . 4 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ↔ ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒))   )
16		sbcor 3830	. . . . . . 7 ⊢ ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓))
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓)))
18	1, 17	e1a 44066	. . . . 5 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓))   )
19		orbi1 916	. . . . 5 ⊢ (([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓)) → (([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒) ↔ (([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒)))
20	18, 19	e1a 44066	. . . 4 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   (([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒) ↔ (([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒))   )
21		bibi1 351	. . . . 5 ⊢ (([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ↔ ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒)) → (([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ↔ (([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒)) ↔ (([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒) ↔ (([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒))))
22	21	biimprd 247	. . . 4 ⊢ (([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ↔ ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒)) → ((([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒) ↔ (([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒)) → ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ↔ (([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒))))
23	15, 20, 22	e11 44127	. . 3 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ↔ (([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒))   )
24		df-3or 1086	. . . 4 ⊢ (([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒) ↔ (([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒))
25	24	bicomi 223	. . 3 ⊢ ((([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒))
26		bibi1 351	. . . 4 ⊢ (([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ↔ (([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒)) → (([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒)) ↔ ((([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒))))
27	26	biimprd 247	. . 3 ⊢ (([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ↔ (([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒)) → (((([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓) ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒)) → ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒))))
28	23, 25, 27	e10 44133	. 2 ⊢ (   𝐴 ∈ 𝐵   ▶   ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒))   )
29	28	in1 44010	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ([𝐴 / 𝑥](𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜓 ∨ [𝐴 / 𝑥]𝜒)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 846   ∨ w3o 1084  ∀wal 1532   ∈ wcel 2099  [wsbc 3776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-12 2167  ax-ext 2699

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-tru 1537  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-v 3473  df-sbc 3777  df-vd1 44009

This theorem is referenced by: (None)