Theorem an33rean 1514

Description: Rearrange a 9-fold conjunction. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Apr-2019.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 21-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
an33rean	⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂) ∧ (𝜁 ∧ 𝜎 ∧ 𝜌)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜏 ∧ 𝜌) ∧ ((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜂 ∧ 𝜎) ∧ (𝜒 ∧ 𝜁))))

Proof of Theorem an33rean

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anass 1111	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒) ↔ (𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜒)))
2		3anan12 1112	. . 3 ⊢ ((𝜃 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂) ↔ (𝜏 ∧ (𝜃 ∧ 𝜂)))
3		3anrev 1118	. . . 4 ⊢ ((𝜁 ∧ 𝜎 ∧ 𝜌) ↔ (𝜌 ∧ 𝜎 ∧ 𝜁))
4		3anass 1111	. . . 4 ⊢ ((𝜌 ∧ 𝜎 ∧ 𝜁) ↔ (𝜌 ∧ (𝜎 ∧ 𝜁)))
5	3, 4	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝜁 ∧ 𝜎 ∧ 𝜌) ↔ (𝜌 ∧ (𝜎 ∧ 𝜁)))
6	1, 2, 5	3anbi123i 1173	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂) ∧ (𝜁 ∧ 𝜎 ∧ 𝜌)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜒)) ∧ (𝜏 ∧ (𝜃 ∧ 𝜂)) ∧ (𝜌 ∧ (𝜎 ∧ 𝜁))))
7		3an6 1475	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜒)) ∧ (𝜏 ∧ (𝜃 ∧ 𝜂)) ∧ (𝜌 ∧ (𝜎 ∧ 𝜁))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜏 ∧ 𝜌) ∧ ((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜂) ∧ (𝜎 ∧ 𝜁))))
8		anass 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝜂) ∧ 𝜎) ↔ (𝜃 ∧ (𝜂 ∧ 𝜎)))
9	8	anbi2i 635	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ ((𝜃 ∧ 𝜂) ∧ 𝜎)) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ (𝜂 ∧ 𝜎))))
10		an42 670	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ (𝜂 ∧ 𝜎))) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ ((𝜂 ∧ 𝜎) ∧ 𝜒)))
11	9, 10	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ ((𝜃 ∧ 𝜂) ∧ 𝜎)) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ ((𝜂 ∧ 𝜎) ∧ 𝜒)))
12		anass 474	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜂)) ∧ 𝜎) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ ((𝜃 ∧ 𝜂) ∧ 𝜎)))
13		anass 474	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜂 ∧ 𝜎)) ∧ 𝜒) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ ((𝜂 ∧ 𝜎) ∧ 𝜒)))
14	11, 12, 13	3bitr4i 306	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜂)) ∧ 𝜎) ↔ (((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜂 ∧ 𝜎)) ∧ 𝜒))
15	14	anbi1i 636	. . . . 5 ⊢ (((((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜂)) ∧ 𝜎) ∧ 𝜁) ↔ ((((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜂 ∧ 𝜎)) ∧ 𝜒) ∧ 𝜁))
16		anass 474	. . . . 5 ⊢ (((((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜂)) ∧ 𝜎) ∧ 𝜁) ↔ (((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜂)) ∧ (𝜎 ∧ 𝜁)))
17		anass 474	. . . . 5 ⊢ (((((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜂 ∧ 𝜎)) ∧ 𝜒) ∧ 𝜁) ↔ (((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜂 ∧ 𝜎)) ∧ (𝜒 ∧ 𝜁)))
18	15, 16, 17	3bitr3i 304	. . . 4 ⊢ ((((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜂)) ∧ (𝜎 ∧ 𝜁)) ↔ (((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜂 ∧ 𝜎)) ∧ (𝜒 ∧ 𝜁)))
19		df-3an 1105	. . . 4 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜂) ∧ (𝜎 ∧ 𝜁)) ↔ (((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜂)) ∧ (𝜎 ∧ 𝜁)))
20		df-3an 1105	. . . 4 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜂 ∧ 𝜎) ∧ (𝜒 ∧ 𝜁)) ↔ (((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜂 ∧ 𝜎)) ∧ (𝜒 ∧ 𝜁)))
21	18, 19, 20	3bitr4i 306	. . 3 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜂) ∧ (𝜎 ∧ 𝜁)) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜂 ∧ 𝜎) ∧ (𝜒 ∧ 𝜁)))
22	21	anbi2i 635	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜏 ∧ 𝜌) ∧ ((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜂) ∧ (𝜎 ∧ 𝜁))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜏 ∧ 𝜌) ∧ ((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜂 ∧ 𝜎) ∧ (𝜒 ∧ 𝜁))))
23	6, 7, 22	3bitri 300	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂) ∧ (𝜁 ∧ 𝜎 ∧ 𝜌)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜏 ∧ 𝜌) ∧ ((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜂 ∧ 𝜎) ∧ (𝜒 ∧ 𝜁))))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-3an 1105

This theorem is used by:  trgcgrg  28978