Theorem trgcgrg 28784

Description: The property for two triangles to be congruent to each other. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
trgcgrg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
trgcgrg.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
trgcgrg.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
trgcgrg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
trgcgrg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
trgcgrg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
trgcgrg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
trgcgrg.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
trgcgrg.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
trgcgrg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
trgcgrg	⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))))

Proof of Theorem trgcgrg

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trgcgrg.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
2		trgcgrg.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
3		trgcgrg.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
4	1, 2, 3	s3cld 14905	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃)
5		wrdf 14551	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))⟶𝑃)
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))⟶𝑃)
7		s3len 14927	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
8	7	oveq2i 7421	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = (0..^3)
9		fzo0to3tp 13777	. . . . . . 7 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
10	8, 9	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = {0, 1, 2}
11	10	feq2i 6697	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))⟶𝑃 ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:{0, 1, 2}⟶𝑃)
12	6, 11	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:{0, 1, 2}⟶𝑃)
13	12	fdmd 6716	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = {0, 1, 2})
14	13	raleqdv 3323	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ dom ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ {0, 1, 2} ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗))))
15	13, 14	raleqbidv 3338	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ dom ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩∀𝑗 ∈ dom ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ ∀𝑖 ∈ {0, 1, 2}∀𝑗 ∈ {0, 1, 2} ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗))))
16		trgcgrg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
17		trgcgrg.m	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
18		trgcgrg.r	. . 3 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
19		trgcgrg.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
20		0re 11205	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
21		1re 11203	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
22		2re 12310	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		tpssi 4803	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → {0, 1, 2} ⊆ ℝ)
24	20, 21, 22, 23	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ {0, 1, 2} ⊆ ℝ
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {0, 1, 2} ⊆ ℝ)
26		trgcgrg.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
27		trgcgrg.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
28		trgcgrg.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
29	26, 27, 28	s3cld 14905	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃)
30		wrdf 14551	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩))⟶𝑃)
31	29, 30	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩))⟶𝑃)
32		s3len 14927	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3
33	32	oveq2i 7421	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)) = (0..^3)
34	33, 9	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)) = {0, 1, 2}
35	34	feq2i 6697	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩))⟶𝑃 ↔ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩:{0, 1, 2}⟶𝑃)
36	31, 35	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩:{0, 1, 2}⟶𝑃)
37	16, 17, 18, 19, 25, 12, 36	iscgrgd 28782	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∀𝑖 ∈ dom ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩∀𝑗 ∈ dom ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗))))
38		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 0 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
39		s3fv0 14924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
40	1, 39	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
41	38, 40	sylan9eqr 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 0) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗) = 𝐴)
42	41	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 0) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴))
43		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 0 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0))
44		s3fv0 14924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
45	26, 44	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
46	43, 45	sylan9eqr 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 0) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗) = 𝐷)
47	46	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 0) → ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷))
48	42, 47	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 0) → (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷)))
49		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 1 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
50		s3fv1 14925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
51	2, 50	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
52	49, 51	sylan9eqr 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 1) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗) = 𝐵)
53	52	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 1) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵))
54		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 1 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))
55		s3fv1 14925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
56	27, 55	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
57	54, 56	sylan9eqr 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 1) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗) = 𝐸)
58	57	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 1) → ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸))
59	53, 58	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 1) → (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸)))
60		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 2 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
61		s3fv2 14926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
62	3, 61	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
63	60, 62	sylan9eqr 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 2) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗) = 𝐶)
64	63	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 2) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶))
65		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 2 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))
66		s3fv2 14926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
67	28, 66	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
68	65, 67	sylan9eqr 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 2) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗) = 𝐹)
69	68	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 2) → ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹))
70	64, 69	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 2) → (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹)))
71		0red 11206	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
72		1red 11204	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
73	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
74	48, 59, 70, 71, 72, 73	raltpd 4747	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ {0, 1, 2} ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹))))
75	74	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (∀𝑗 ∈ {0, 1, 2} ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹))))
76		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 0 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
77	76	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
78	40	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
79	77, 78	eqtr2d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → 𝐴 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖))
80	79	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝐴 − 𝐴) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴))
81		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 0 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0))
82	81	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0))
83	45	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
84	82, 83	eqtr2d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → 𝐷 = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖))
85	84	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝐷 − 𝐷) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷))
86	80, 85	eqeq12d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷)))
87	79	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝐴 − 𝐵) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵))
88	84	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝐷 − 𝐸) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸))
89	87, 88	eqeq12d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸)))
90	79	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝐴 − 𝐶) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶))
91	84	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝐷 − 𝐹) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹))
92	90, 91	eqeq12d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹)))
93	86, 89, 92	3anbi123d 1464	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (((𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹)) ↔ (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹))))
94	75, 93	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (∀𝑗 ∈ {0, 1, 2} ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ ((𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))))
95	74	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (∀𝑗 ∈ {0, 1, 2} ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹))))
96		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 1 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
97	96	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
98	51	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
99	97, 98	eqtr2d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → 𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖))
100	99	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (𝐵 − 𝐴) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴))
101		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 1 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))
102	101	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))
103	56	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
104	102, 103	eqtr2d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → 𝐸 = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖))
105	104	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (𝐸 − 𝐷) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷))
106	100, 105	eqeq12d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → ((𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷)))
107	99	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (𝐵 − 𝐵) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵))
108	104	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (𝐸 − 𝐸) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸))
109	107, 108	eqeq12d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → ((𝐵 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐸) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸)))
110	99	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (𝐵 − 𝐶) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶))
111	104	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (𝐸 − 𝐹) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹))
112	110, 111	eqeq12d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → ((𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹)))
113	106, 109, 112	3anbi123d 1464	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (((𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷) ∧ (𝐵 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)) ↔ (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹))))
114	95, 113	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (∀𝑗 ∈ {0, 1, 2} ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ ((𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷) ∧ (𝐵 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))))
115	74	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (∀𝑗 ∈ {0, 1, 2} ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹))))
116		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 2 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
117	116	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
118	62	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
119	117, 118	eqtr2d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → 𝐶 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖))
120	119	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (𝐶 − 𝐴) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴))
121		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 2 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))
122	121	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))
123	67	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
124	122, 123	eqtr2d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → 𝐹 = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖))
125	124	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (𝐹 − 𝐷) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷))
126	120, 125	eqeq12d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → ((𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷)))
127	119	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (𝐶 − 𝐵) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵))
128	124	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (𝐹 − 𝐸) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸))
129	127, 128	eqeq12d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → ((𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸)))
130	119	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (𝐶 − 𝐶) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶))
131	124	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (𝐹 − 𝐹) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹))
132	130, 131	eqeq12d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → ((𝐶 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐹) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹)))
133	126, 129, 132	3anbi123d 1464	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (((𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸) ∧ (𝐶 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐹)) ↔ (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹))))
134	115, 133	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (∀𝑗 ∈ {0, 1, 2} ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ ((𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸) ∧ (𝐶 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐹))))
135	94, 114, 134, 71, 72, 73	raltpd 4747	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ {0, 1, 2}∀𝑗 ∈ {0, 1, 2} ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ (((𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹)) ∧ ((𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷) ∧ (𝐵 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)) ∧ ((𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸) ∧ (𝐶 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐹)))))
136		an33rean 1514	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹)) ∧ ((𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷) ∧ (𝐵 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)) ∧ ((𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸) ∧ (𝐶 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐹))) ↔ (((𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷) ∧ (𝐵 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐸) ∧ (𝐶 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐹)) ∧ (((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ ((𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸)) ∧ ((𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)))))
137		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
138	16, 17, 137, 19, 1, 26	tgcgrtriv 28753	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷))
139	16, 17, 137, 19, 2, 27	tgcgrtriv 28753	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐸))
140	16, 17, 137, 19, 3, 28	tgcgrtriv 28753	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐹))
141	138, 139, 140	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷) ∧ (𝐵 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐸) ∧ (𝐶 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐹)))
142	141	biantrurd 541	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ ((𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸)) ∧ ((𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))) ↔ (((𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷) ∧ (𝐵 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐸) ∧ (𝐶 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐹)) ∧ (((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ ((𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸)) ∧ ((𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))))))
143		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
144		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸)) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
145	19	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
146	1	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
147	2	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
148	26	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
149	27	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
150	16, 17, 137, 145, 146, 147, 148, 149, 144	tgcgrcomlr 28749	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸)) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
151	144, 150	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸)) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷)))
152	143, 151	impbida 812	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸)))
153		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
154		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
155	19	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
156	2	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
157	3	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
158	27	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
159	28	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
160	16, 17, 137, 155, 156, 157, 158, 159, 154	tgcgrcomlr 28749	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸))
161	154, 160	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)) → ((𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸)))
162	153, 161	impbida 812	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸)) ↔ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)))
163		simprr 784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
164	19	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
165	3	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
166	1	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
167	28	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
168	26	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
169		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
170	16, 17, 137, 164, 165, 166, 167, 168, 169	tgcgrcomlr 28749	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
171	170, 169	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)) → ((𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)))
172	163, 171	impbida 812	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)) ↔ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)))
173	152, 162, 172	3anbi123d 1464	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ ((𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸)) ∧ ((𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))) ↔ ((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))))
174	142, 173	bitr3d 284	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷) ∧ (𝐵 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐸) ∧ (𝐶 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐹)) ∧ (((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ ((𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸)) ∧ ((𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)))) ↔ ((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))))
175	136, 174	bitrid 286	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹)) ∧ ((𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷) ∧ (𝐵 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)) ∧ ((𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸) ∧ (𝐶 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐹))) ↔ ((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))))
176	135, 175	bitr2d 283	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)) ↔ ∀𝑖 ∈ {0, 1, 2}∀𝑗 ∈ {0, 1, 2} ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗))))
177	15, 37, 176	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ⊆ wss 3905  {ctp 4593   class class class wbr 5109  dom cdm 5661  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096  2c2 12290  3c3 12291  ..^cfzo 13678  ♯chash 14362  Word cword 14546  ⟨“cs3 14875  Basecbs 17264  distcds 17314  TarskiGcstrkg 28696  Itvcitv 28702  cgrGccgrg 28779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-concat 14604  df-s1 14630  df-s2 14881  df-s3 14882  df-trkgc 28717  df-trkgcb 28719  df-trkg 28722  df-cgrg 28780

This theorem is referenced by:  trgcgr  28785  cgr3simp1  28789  cgr3simp2  28790  cgr3simp3  28791  dfcgrg2  29180