Theorem trgcgrg 28460

Description: The property for two triangles to be congruent to each other. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
trgcgrg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
trgcgrg.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
trgcgrg.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
trgcgrg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
trgcgrg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
trgcgrg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
trgcgrg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
trgcgrg.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
trgcgrg.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
trgcgrg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
trgcgrg	⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))))

Proof of Theorem trgcgrg

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trgcgrg.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
2		trgcgrg.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
3		trgcgrg.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
4	1, 2, 3	s3cld 14779	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃)
5		wrdf 14425	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))⟶𝑃)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))⟶𝑃)
7		s3len 14801	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
8	7	oveq2i 7360	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = (0..^3)
9		fzo0to3tp 13655	. . . . . . 7 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
10	8, 9	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = {0, 1, 2}
11	10	feq2i 6644	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))⟶𝑃 ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:{0, 1, 2}⟶𝑃)
12	6, 11	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:{0, 1, 2}⟶𝑃)
13	12	fdmd 6662	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = {0, 1, 2})
14	13	raleqdv 3289	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ dom ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ {0, 1, 2} ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗))))
15	13, 14	raleqbidv 3309	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ dom ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩∀𝑗 ∈ dom ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ ∀𝑖 ∈ {0, 1, 2}∀𝑗 ∈ {0, 1, 2} ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗))))
16		trgcgrg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
17		trgcgrg.m	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
18		trgcgrg.r	. . 3 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
19		trgcgrg.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
20		0re 11117	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
21		1re 11115	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
22		2re 12202	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		tpssi 4789	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → {0, 1, 2} ⊆ ℝ)
24	20, 21, 22, 23	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ {0, 1, 2} ⊆ ℝ
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {0, 1, 2} ⊆ ℝ)
26		trgcgrg.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
27		trgcgrg.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
28		trgcgrg.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
29	26, 27, 28	s3cld 14779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃)
30		wrdf 14425	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩))⟶𝑃)
31	29, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩))⟶𝑃)
32		s3len 14801	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3
33	32	oveq2i 7360	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)) = (0..^3)
34	33, 9	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)) = {0, 1, 2}
35	34	feq2i 6644	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩))⟶𝑃 ↔ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩:{0, 1, 2}⟶𝑃)
36	31, 35	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩:{0, 1, 2}⟶𝑃)
37	16, 17, 18, 19, 25, 12, 36	iscgrgd 28458	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∀𝑖 ∈ dom ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩∀𝑗 ∈ dom ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗))))
38		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 0 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
39		s3fv0 14798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
40	1, 39	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
41	38, 40	sylan9eqr 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 0) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗) = 𝐴)
42	41	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 0) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴))
43		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 0 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0))
44		s3fv0 14798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
45	26, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
46	43, 45	sylan9eqr 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 0) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗) = 𝐷)
47	46	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 0) → ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷))
48	42, 47	eqeq12d 2745	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 0) → (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷)))
49		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 1 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
50		s3fv1 14799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
51	2, 50	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
52	49, 51	sylan9eqr 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 1) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗) = 𝐵)
53	52	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 1) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵))
54		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 1 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))
55		s3fv1 14799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
56	27, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
57	54, 56	sylan9eqr 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 1) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗) = 𝐸)
58	57	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 1) → ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸))
59	53, 58	eqeq12d 2745	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 1) → (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸)))
60		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 2 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
61		s3fv2 14800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
62	3, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
63	60, 62	sylan9eqr 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 2) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗) = 𝐶)
64	63	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 2) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶))
65		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 2 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))
66		s3fv2 14800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
67	28, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
68	65, 67	sylan9eqr 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 2) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗) = 𝐹)
69	68	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 2) → ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹))
70	64, 69	eqeq12d 2745	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 2) → (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹)))
71		0red 11118	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
72		1red 11116	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
73	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
74	48, 59, 70, 71, 72, 73	raltpd 4733	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ {0, 1, 2} ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹))))
75	74	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (∀𝑗 ∈ {0, 1, 2} ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹))))
76		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 0 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
77	76	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
78	40	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
79	77, 78	eqtr2d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → 𝐴 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖))
80	79	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝐴 − 𝐴) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴))
81		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 0 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0))
82	81	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0))
83	45	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
84	82, 83	eqtr2d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → 𝐷 = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖))
85	84	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝐷 − 𝐷) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷))
86	80, 85	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷)))
87	79	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝐴 − 𝐵) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵))
88	84	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝐷 − 𝐸) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸))
89	87, 88	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸)))
90	79	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝐴 − 𝐶) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶))
91	84	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝐷 − 𝐹) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹))
92	90, 91	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹)))
93	86, 89, 92	3anbi123d 1438	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (((𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹)) ↔ (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹))))
94	75, 93	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (∀𝑗 ∈ {0, 1, 2} ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ ((𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))))
95	74	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (∀𝑗 ∈ {0, 1, 2} ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹))))
96		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 1 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
97	96	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
98	51	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
99	97, 98	eqtr2d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → 𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖))
100	99	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (𝐵 − 𝐴) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴))
101		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 1 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))
102	101	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))
103	56	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
104	102, 103	eqtr2d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → 𝐸 = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖))
105	104	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (𝐸 − 𝐷) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷))
106	100, 105	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → ((𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷)))
107	99	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (𝐵 − 𝐵) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵))
108	104	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (𝐸 − 𝐸) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸))
109	107, 108	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → ((𝐵 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐸) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸)))
110	99	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (𝐵 − 𝐶) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶))
111	104	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (𝐸 − 𝐹) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹))
112	110, 111	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → ((𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹)))
113	106, 109, 112	3anbi123d 1438	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (((𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷) ∧ (𝐵 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)) ↔ (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹))))
114	95, 113	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 1) → (∀𝑗 ∈ {0, 1, 2} ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ ((𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷) ∧ (𝐵 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))))
115	74	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (∀𝑗 ∈ {0, 1, 2} ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹))))
116		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 2 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
117	116	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
118	62	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
119	117, 118	eqtr2d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → 𝐶 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖))
120	119	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (𝐶 − 𝐴) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴))
121		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 2 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))
122	121	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))
123	67	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
124	122, 123	eqtr2d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → 𝐹 = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖))
125	124	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (𝐹 − 𝐷) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷))
126	120, 125	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → ((𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷)))
127	119	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (𝐶 − 𝐵) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵))
128	124	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (𝐹 − 𝐸) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸))
129	127, 128	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → ((𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸)))
130	119	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (𝐶 − 𝐶) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶))
131	124	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (𝐹 − 𝐹) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹))
132	130, 131	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → ((𝐶 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐹) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹)))
133	126, 129, 132	3anbi123d 1438	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (((𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸) ∧ (𝐶 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐹)) ↔ (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐴) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐷) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐵) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐸) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − 𝐶) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − 𝐹))))
134	115, 133	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 2) → (∀𝑗 ∈ {0, 1, 2} ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ ((𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸) ∧ (𝐶 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐹))))
135	94, 114, 134, 71, 72, 73	raltpd 4733	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ {0, 1, 2}∀𝑗 ∈ {0, 1, 2} ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗)) ↔ (((𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹)) ∧ ((𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷) ∧ (𝐵 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)) ∧ ((𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸) ∧ (𝐶 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐹)))))
136		an33rean 1485	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹)) ∧ ((𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷) ∧ (𝐵 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)) ∧ ((𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸) ∧ (𝐶 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐹))) ↔ (((𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷) ∧ (𝐵 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐸) ∧ (𝐶 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐹)) ∧ (((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ ((𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸)) ∧ ((𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)))))
137		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
138	16, 17, 137, 19, 1, 26	tgcgrtriv 28429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷))
139	16, 17, 137, 19, 2, 27	tgcgrtriv 28429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐸))
140	16, 17, 137, 19, 3, 28	tgcgrtriv 28429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐹))
141	138, 139, 140	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷) ∧ (𝐵 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐸) ∧ (𝐶 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐹)))
142	141	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ ((𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸)) ∧ ((𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))) ↔ (((𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷) ∧ (𝐵 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐸) ∧ (𝐶 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐹)) ∧ (((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ ((𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸)) ∧ ((𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))))))
143		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
144		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸)) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
145	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
146	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
147	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
148	26	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
149	27	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
150	16, 17, 137, 145, 146, 147, 148, 149, 144	tgcgrcomlr 28425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸)) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
151	144, 150	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸)) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷)))
152	143, 151	impbida 800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸)))
153		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
154		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
155	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
156	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
157	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
158	27	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
159	28	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
160	16, 17, 137, 155, 156, 157, 158, 159, 154	tgcgrcomlr 28425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸))
161	154, 160	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)) → ((𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸)))
162	153, 161	impbida 800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸)) ↔ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)))
163		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
164	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
165	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
166	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
167	28	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
168	26	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
169		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
170	16, 17, 137, 164, 165, 166, 167, 168, 169	tgcgrcomlr 28425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
171	170, 169	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)) → ((𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)))
172	163, 171	impbida 800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)) ↔ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)))
173	152, 162, 172	3anbi123d 1438	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ ((𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸)) ∧ ((𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))) ↔ ((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))))
174	142, 173	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷) ∧ (𝐵 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐸) ∧ (𝐶 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐹)) ∧ (((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷)) ∧ ((𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸)) ∧ ((𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)))) ↔ ((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))))
175	136, 174	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹)) ∧ ((𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷) ∧ (𝐵 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹)) ∧ ((𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸) ∧ (𝐶 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐹))) ↔ ((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))))
176	135, 175	bitr2d 280	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷)) ↔ ∀𝑖 ∈ {0, 1, 2}∀𝑗 ∈ {0, 1, 2} ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑗)) = ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑖) − (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘𝑗))))
177	15, 37, 176	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3903  {ctp 4581   class class class wbr 5092  dom cdm 5619  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010  2c2 12183  3c3 12184  ..^cfzo 13557  ♯chash 14237  Word cword 14420  ⟨“cs3 14749  Basecbs 17120  distcds 17170  TarskiGcstrkg 28372  Itvcitv 28378  cgrGccgrg 28455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14503  df-s2 14755  df-s3 14756  df-trkgc 28393  df-trkgcb 28395  df-trkg 28398  df-cgrg 28456

This theorem is referenced by:  trgcgr  28461  cgr3simp1  28465  cgr3simp2  28466  cgr3simp3  28467  dfcgrg2  28808