Theorem disjex 5824

Description: The disjointedness relationship is a set. (Contributed by SF, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
disjex	|- Disj e. _V

Proof of Theorem disjex

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-disj 5745	. . 3 |- Disj = {<.x, y>. | (x i^i y) = (/)}
2		oteltxp 5783	. . . . . . . . . 10 |- (<.{z}, <.x, y>.>. e. ( S (x) S ) <-> (<.{z}, x>. e. S /\ <.{z}, y>. e. S ))
3		vex 2863	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. _V
4		vex 2863	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
5	3, 4	opelssetsn 4761	. . . . . . . . . . 11 |- (<.{z}, x>. e. S <-> z e. x)
6		vex 2863	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
7	3, 6	opelssetsn 4761	. . . . . . . . . . 11 |- (<.{z}, y>. e. S <-> z e. y)
8	5, 7	anbi12i 678	. . . . . . . . . 10 |- ((<.{z}, x>. e. S /\ <.{z}, y>. e. S ) <-> (z e. x /\ z e. y))
9	2, 8	bitri 240	. . . . . . . . 9 |- (<.{z}, <.x, y>.>. e. ( S (x) S ) <-> (z e. x /\ z e. y))
10	9	exbii 1582	. . . . . . . 8 |- (E.z<.{z}, <.x, y>.>. e. ( S (x) S ) <-> E.z(z e. x /\ z e. y))
11		elima1c 4948	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. (( S (x) S )"1c) <-> E.z<.{z}, <.x, y>.>. e. ( S (x) S ))
12		df-rex 2621	. . . . . . . 8 |- (E.z e. x z e. y <-> E.z(z e. x /\ z e. y))
13	10, 11, 12	3bitr4i 268	. . . . . . 7 |- (<.x, y>. e. (( S (x) S )"1c) <-> E.z e. x z e. y)
14		dfrex2 2628	. . . . . . 7 |- (E.z e. x z e. y <-> -. A.z e. x -. z e. y)
15	13, 14	bitri 240	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (( S (x) S )"1c) <-> -. A.z e. x -. z e. y)
16	15	con2bii 322	. . . . 5 |- (A.z e. x -. z e. y <-> -. <.x, y>. e. (( S (x) S )"1c))
17		disj 3592	. . . . 5 |- ((x i^i y) = (/) <-> A.z e. x -. z e. y)
18	4, 6	opex 4589	. . . . . 6 |- <.x, y>. e. _V
19	18	elcompl 3226	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. ∼ (( S (x) S )"1c) <-> -. <.x, y>. e. (( S (x) S )"1c))
20	16, 17, 19	3bitr4ri 269	. . . 4 |- (<.x, y>. e. ∼ (( S (x) S )"1c) <-> (x i^i y) = (/))
21	20	opabbi2i 4867	. . 3 |- ∼ (( S (x) S )"1c) = {<.x, y>. | (x i^i y) = (/)}
22	1, 21	eqtr4i 2376	. 2 |- Disj = ∼ (( S (x) S )"1c)
23		ssetex 4745	. . . . 5 |- S e. _V
24	23, 23	txpex 5786	. . . 4 |- ( S (x) S ) e. _V
25		1cex 4143	. . . 4 |- 1c e. _V
26	24, 25	imaex 4748	. . 3 |- (( S (x) S )"1c) e. _V
27	26	complex 4105	. 2 |- ∼ (( S (x) S )"1c) e. _V
28	22, 27	eqeltri 2423	1 |- Disj e. _V

Syntax hints:  -. wn 3   /\ wa 358  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  A.wral 2615  E.wrex 2616  _Vcvv 2860   ∼ ccompl 3206   i^i cin 3209  (/)c0 3551  {csn 3738  1_cc1c 4135  <.cop 4562  {copab 4623   S csset 4720  "cima 4723   (x) ctxp 5736   Disj cdisj 5744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-cnv 4786  df-2nd 4798  df-txp 5737  df-disj 5745

This theorem is referenced by:  addcfnex  5825