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Theorem eqpwrelk 4478
Description: Represent equality to power class via a Kuratowski relationship. (Contributed by SF, 26-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqpwrelk.1
eqpwrelk.2
Assertion
Ref Expression
eqpwrelk Ins2k Sk Ins3k SIk Sk k1 1 1c

Proof of Theorem eqpwrelk
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opkex 4113 . . . . 5
21elimak 4259 . . . 4 Ins2k Sk Ins3k SIk Sk k1 1 1c 1 1 1c Ins2k Sk Ins3k SIk Sk
3 elpw121c 4148 . . . . . . . 8 1 1 1c
43anbi1i 676 . . . . . . 7 1 1 1c Ins2k Sk Ins3k SIk Sk Ins2k Sk Ins3k SIk Sk
5 19.41v 1901 . . . . . . 7 Ins2k Sk Ins3k SIk Sk Ins2k Sk Ins3k SIk Sk
64, 5bitr4i 243 . . . . . 6 1 1 1c Ins2k Sk Ins3k SIk Sk Ins2k Sk Ins3k SIk Sk
76exbii 1582 . . . . 5 1 1 1c Ins2k Sk Ins3k SIk Sk Ins2k Sk Ins3k SIk Sk
8 df-rex 2620 . . . . 5 1 1 1c Ins2k Sk Ins3k SIk Sk 1 1 1c Ins2k Sk Ins3k SIk Sk
9 excom 1741 . . . . 5 Ins2k Sk Ins3k SIk Sk Ins2k Sk Ins3k SIk Sk
107, 8, 93bitr4i 268 . . . 4 1 1 1c Ins2k Sk Ins3k SIk Sk Ins2k Sk Ins3k SIk Sk
11 snex 4111 . . . . . . 7
12 opkeq1 4059 . . . . . . . 8
1312eleq1d 2419 . . . . . . 7 Ins2k Sk Ins3k SIk Sk Ins2k Sk Ins3k SIk Sk
1411, 13ceqsexv 2894 . . . . . 6 Ins2k Sk Ins3k SIk Sk Ins2k Sk Ins3k SIk Sk
15 elsymdif 3223 . . . . . 6 Ins2k Sk Ins3k SIk Sk Ins2k Sk Ins3k SIk Sk
16 snex 4111 . . . . . . . . . 10
17 snex 4111 . . . . . . . . . 10
18 eqpwrelk.2 . . . . . . . . . 10
1916, 17, 18otkelins2k 4255 . . . . . . . . 9 Ins2k Sk Sk
20 vex 2862 . . . . . . . . . 10
2120, 18elssetk 4270 . . . . . . . . 9 Sk
2219, 21bitri 240 . . . . . . . 8 Ins2k Sk
2316, 17, 18otkelins3k 4256 . . . . . . . . 9 Ins3k SIk Sk SIk Sk
24 eqpwrelk.1 . . . . . . . . . 10
2520, 24opksnelsik 4265 . . . . . . . . 9 SIk Sk Sk
26 opkelssetkg 4268 . . . . . . . . . 10 Sk
2720, 24, 26mp2an 653 . . . . . . . . 9 Sk
2823, 25, 273bitri 262 . . . . . . . 8 Ins3k SIk Sk
2922, 28bibi12i 306 . . . . . . 7 Ins2k Sk Ins3k SIk Sk
3029notbii 287 . . . . . 6 Ins2k Sk Ins3k SIk Sk
3114, 15, 303bitri 262 . . . . 5 Ins2k Sk Ins3k SIk Sk
3231exbii 1582 . . . 4 Ins2k Sk Ins3k SIk Sk
332, 10, 323bitri 262 . . 3 Ins2k Sk Ins3k SIk Sk k1 1 1c
3433notbii 287 . 2 Ins2k Sk Ins3k SIk Sk k1 1 1c
351elcompl 3225 . 2 Ins2k Sk Ins3k SIk Sk k1 1 1c Ins2k Sk Ins3k SIk Sk k1 1 1c
36 df-pw 3724 . . . 4
3736eqeq2i 2363 . . 3
38 abeq2 2458 . . 3
39 alex 1572 . . 3
4037, 38, 393bitri 262 . 2
4134, 35, 403bitr4i 268 1 Ins2k Sk Ins3k SIk Sk k1 1 1c
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wn 3   wb 176   wa 358  wal 1540  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710  cab 2339  wrex 2615  cvv 2859   ∼ ccompl 3205   csymdif 3209   wss 3257  cpw 3722  csn 3737  copk 4057  1cc1c 4134  1 cpw1 4135   Ins2k cins2k 4176   Ins3k cins3k 4177  kcimak 4179   SIk csik 4181   Sk cssetk 4183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-rex 2620  df-v 2861  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-sik 4192  df-ssetk 4193
This theorem is referenced by:  nnpweqlem1  4522
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