NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  f1oiso2 Unicode version

Theorem f1oiso2 5500
Description: Any one-to-one onto function determines an isomorphism with an induced relation . (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
f1oiso2.1
Assertion
Ref Expression
f1oiso2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem f1oiso2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oiso2.1 . . 3
2 f1ocnvdm 5481 . . . . . . . . 9
32adantrr 697 . . . . . . . 8
433adant3 975 . . . . . . 7
5 f1ocnvdm 5481 . . . . . . . . . 10
65adantrl 696 . . . . . . . . 9
763adant3 975 . . . . . . . 8
8 f1ocnvfv2 5477 . . . . . . . . . . 11
98eqcomd 2358 . . . . . . . . . 10
10 f1ocnvfv2 5477 . . . . . . . . . . 11
1110eqcomd 2358 . . . . . . . . . 10
129, 11anim12dan 810 . . . . . . . . 9
13123adant3 975 . . . . . . . 8
14 simp3 957 . . . . . . . 8
15 fveq2 5328 . . . . . . . . . . . 12
1615eqeq2d 2364 . . . . . . . . . . 11
1716anbi2d 684 . . . . . . . . . 10
18 breq2 4643 . . . . . . . . . 10
1917, 18anbi12d 691 . . . . . . . . 9
2019rspcev 2955 . . . . . . . 8
217, 13, 14, 20syl12anc 1180 . . . . . . 7
22 fveq2 5328 . . . . . . . . . . . 12
2322eqeq2d 2364 . . . . . . . . . . 11
2423anbi1d 685 . . . . . . . . . 10
25 breq1 4642 . . . . . . . . . 10
2624, 25anbi12d 691 . . . . . . . . 9
2726rexbidv 2635 . . . . . . . 8
2827rspcev 2955 . . . . . . 7
294, 21, 28syl2anc 642 . . . . . 6
30293expib 1154 . . . . 5
31 simp3ll 1026 . . . . . . . . 9
32 simp1 955 . . . . . . . . . 10
33 simp2l 981 . . . . . . . . . 10
34 f1of 5287 . . . . . . . . . . 11
35 ffvelrn 5415 . . . . . . . . . . 11
3634, 35sylan 457 . . . . . . . . . 10
3732, 33, 36syl2anc 642 . . . . . . . . 9
3831, 37eqeltrd 2427 . . . . . . . 8
39 simp3lr 1027 . . . . . . . . 9
40 simp2r 982 . . . . . . . . . 10
41 ffvelrn 5415 . . . . . . . . . . 11
4234, 41sylan 457 . . . . . . . . . 10
4332, 40, 42syl2anc 642 . . . . . . . . 9
4439, 43eqeltrd 2427 . . . . . . . 8
45 simp3r 984 . . . . . . . . 9
4631eqcomd 2358 . . . . . . . . . 10
47 f1ocnvfv 5478 . . . . . . . . . . 11
4832, 33, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
4946, 48mpd 14 . . . . . . . . 9
5039eqcomd 2358 . . . . . . . . . 10
51 f1ocnvfv 5478 . . . . . . . . . . 11
5232, 40, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
5350, 52mpd 14 . . . . . . . . 9
5445, 49, 533brtr4d 4669 . . . . . . . 8
5538, 44, 54jca31 520 . . . . . . 7
56553exp 1150 . . . . . 6
5756rexlimdvv 2744 . . . . 5
5830, 57impbid 183 . . . 4
5958opabbidv 4625 . . 3
601, 59syl5eq 2397 . 2
61 f1oiso 5499 . 2
6260, 61mpdan 649 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1642   wcel 1710  wrex 2615  copab 4622   class class class wbr 4639  ccnv 4771  wf 4777  wf1o 4780  cfv 4781   wiso 4782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-iso 4796
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator