Theorem fnfreclem1 6318

Description: Lemma for fnfrec 6321. Establish stratification for induction. (Contributed by Scott Fenton, 31-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnfreclem1	|- (F e. V -> {w | A.yA.z((wFy /\ wFz) -> y = z)} e. _V)

Distinct variable group:   w,F,y,z

Allowed substitution hints:   V(y,z,w)

Proof of Theorem fnfreclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2863	. . . . 5 |- w e. _V
2	1	elcompl 3226	. . . 4 |- (w e. ∼ ran ran (((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) \ Ins3 _I ) <-> -. w e. ran ran (((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) \ Ins3 _I ))
3		elrn2 4898	. . . . . 6 |- (w e. ran ran (((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) \ Ins3 _I ) <-> E.y<.y, w>. e. ran (((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) \ Ins3 _I ))
4		elrn2 4898	. . . . . . . 8 |- (<.y, w>. e. ran (((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) \ Ins3 _I ) <-> E.z<.z, <.y, w>.>. e. (((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) \ Ins3 _I ))
5		eldif 3222	. . . . . . . . . 10 |- (<.z, <.y, w>.>. e. (((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) \ Ins3 _I ) <-> (<.z, <.y, w>.>. e. ((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) /\ -. <.z, <.y, w>.>. e. Ins3 _I ))
6		elin 3220	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.z, <.y, w>.>. e. ((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) <-> (<.z, <.y, w>.>. e. (_V X. `'F) /\ <.z, <.y, w>.>. e. Ins2 `'F))
7		opelcnv 4894	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (<.y, w>. e. `'F <-> <.w, y>. e. F)
8		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
9		opelxp 4812	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (<.z, <.y, w>.>. e. (_V X. `'F) <-> (z e. _V /\ <.y, w>. e. `'F))
10	8, 9	mpbiran 884	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (<.z, <.y, w>.>. e. (_V X. `'F) <-> <.y, w>. e. `'F)
11		df-br 4641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (wFy <-> <.w, y>. e. F)
12	7, 10, 11	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . 13 |- (<.z, <.y, w>.>. e. (_V X. `'F) <-> wFy)
13		opelcnv 4894	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (<.z, w>. e. `'F <-> <.w, z>. e. F)
14		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
15	14	otelins2 5792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (<.z, <.y, w>.>. e. Ins2 `'F <-> <.z, w>. e. `'F)
16		df-br 4641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (wFz <-> <.w, z>. e. F)
17	13, 15, 16	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . 13 |- (<.z, <.y, w>.>. e. Ins2 `'F <-> wFz)
18	12, 17	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . 12 |- ((<.z, <.y, w>.>. e. (_V X. `'F) /\ <.z, <.y, w>.>. e. Ins2 `'F) <-> (wFy /\ wFz))
19	6, 18	bitri 240	. . . . . . . . . . 11 |- (<.z, <.y, w>.>. e. ((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) <-> (wFy /\ wFz))
20	1	otelins3 5793	. . . . . . . . . . . . 13 |- (<.z, <.y, w>.>. e. Ins3 _I <-> <.z, y>. e. _I )
21		df-br 4641	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z _I y <-> <.z, y>. e. _I )
22	14	ideq 4871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z _I y <-> z = y)
23		equcom 1680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = y <-> y = z)
24	22, 23	bitri 240	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z _I y <-> y = z)
25	20, 21, 24	3bitr2i 264	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.z, <.y, w>.>. e. Ins3 _I <-> y = z)
26	25	notbii 287	. . . . . . . . . . 11 |- (-. <.z, <.y, w>.>. e. Ins3 _I <-> -. y = z)
27	19, 26	anbi12i 678	. . . . . . . . . 10 |- ((<.z, <.y, w>.>. e. ((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) /\ -. <.z, <.y, w>.>. e. Ins3 _I ) <-> ((wFy /\ wFz) /\ -. y = z))
28	5, 27	bitri 240	. . . . . . . . 9 |- (<.z, <.y, w>.>. e. (((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) \ Ins3 _I ) <-> ((wFy /\ wFz) /\ -. y = z))
29	28	exbii 1582	. . . . . . . 8 |- (E.z<.z, <.y, w>.>. e. (((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) \ Ins3 _I ) <-> E.z((wFy /\ wFz) /\ -. y = z))
30	4, 29	bitri 240	. . . . . . 7 |- (<.y, w>. e. ran (((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) \ Ins3 _I ) <-> E.z((wFy /\ wFz) /\ -. y = z))
31	30	exbii 1582	. . . . . 6 |- (E.y<.y, w>. e. ran (((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) \ Ins3 _I ) <-> E.yE.z((wFy /\ wFz) /\ -. y = z))
32		exanali 1585	. . . . . . . 8 |- (E.z((wFy /\ wFz) /\ -. y = z) <-> -. A.z((wFy /\ wFz) -> y = z))
33	32	exbii 1582	. . . . . . 7 |- (E.yE.z((wFy /\ wFz) /\ -. y = z) <-> E.y -. A.z((wFy /\ wFz) -> y = z))
34		exnal 1574	. . . . . . 7 |- (E.y -. A.z((wFy /\ wFz) -> y = z) <-> -. A.yA.z((wFy /\ wFz) -> y = z))
35	33, 34	bitri 240	. . . . . 6 |- (E.yE.z((wFy /\ wFz) /\ -. y = z) <-> -. A.yA.z((wFy /\ wFz) -> y = z))
36	3, 31, 35	3bitrri 263	. . . . 5 |- (-. A.yA.z((wFy /\ wFz) -> y = z) <-> w e. ran ran (((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) \ Ins3 _I ))
37	36	con1bii 321	. . . 4 |- (-. w e. ran ran (((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) \ Ins3 _I ) <-> A.yA.z((wFy /\ wFz) -> y = z))
38	2, 37	bitri 240	. . 3 |- (w e. ∼ ran ran (((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) \ Ins3 _I ) <-> A.yA.z((wFy /\ wFz) -> y = z))
39	38	eqabi 2465	. 2 |- ∼ ran ran (((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) \ Ins3 _I ) = {w | A.yA.z((wFy /\ wFz) -> y = z)}
40		vvex 4110	. . . . . 6 |- _V e. _V
41		cnvexg 5102	. . . . . 6 |- (F e. V -> `'F e. _V)
42		xpexg 5115	. . . . . 6 |- ((_V e. _V /\ `'F e. _V) -> (_V X. `'F) e. _V)
43	40, 41, 42	sylancr 644	. . . . 5 |- (F e. V -> (_V X. `'F) e. _V)
44		ins2exg 5796	. . . . . 6 |- (`'F e. _V -> Ins2 `'F e. _V)
45	41, 44	syl 15	. . . . 5 |- (F e. V -> Ins2 `'F e. _V)
46		inexg 4101	. . . . 5 |- (((_V X. `'F) e. _V /\ Ins2 `'F e. _V) -> ((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) e. _V)
47	43, 45, 46	syl2anc 642	. . . 4 |- (F e. V -> ((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) e. _V)
48		idex 5505	. . . . . 6 |- _I e. _V
49	48	ins3ex 5799	. . . . 5 |- Ins3 _I e. _V
50		difexg 4103	. . . . 5 |- ((((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) e. _V /\ Ins3 _I e. _V) -> (((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) \ Ins3 _I ) e. _V)
51	49, 50	mpan2 652	. . . 4 |- (((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) e. _V -> (((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) \ Ins3 _I ) e. _V)
52		rnexg 5105	. . . 4 |- ((((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) \ Ins3 _I ) e. _V -> ran (((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) \ Ins3 _I ) e. _V)
53	47, 51, 52	3syl 18	. . 3 |- (F e. V -> ran (((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) \ Ins3 _I ) e. _V)
54		rnexg 5105	. . 3 |- (ran (((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) \ Ins3 _I ) e. _V -> ran ran (((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) \ Ins3 _I ) e. _V)
55		complexg 4100	. . 3 |- (ran ran (((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) \ Ins3 _I ) e. _V -> ∼ ran ran (((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) \ Ins3 _I ) e. _V)
56	53, 54, 55	3syl 18	. 2 |- (F e. V -> ∼ ran ran (((_V X. `'F) i^i Ins2 `'F) \ Ins3 _I ) e. _V)
57	39, 56	syl5eqelr 2438	1 |- (F e. V -> {w | A.yA.z((wFy /\ wFz) -> y = z)} e. _V)

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 358  A.wal 1540  E.wex 1541   e. wcel 1710  {cab 2339  _Vcvv 2860   ∼ ccompl 3206   \ cdif 3207   i^i cin 3209  <.cop 4562   class class class wbr 4640   _I cid 4764   X. cxp 4771  `'ccnv 4772  ran crn 4774   Ins2 cins2 5750   Ins3 cins3 5752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-2nd 4798  df-txp 5737  df-ins2 5751  df-ins3 5753

This theorem is referenced by:  fnfrec  6321