Theorem eldif 3221

Description: Membership in difference. (Contributed by SF, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eldif	|- (A e. (B \ C) <-> (A e. B /\ -. A e. C))

Proof of Theorem eldif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dif 3215	. . 3 |- (B \ C) = (B i^i ∼ C)
2	1	eleq2i 2417	. 2 |- (A e. (B \ C) <-> A e. (B i^i ∼ C))
3		elin 3219	. 2 |- (A e. (B i^i ∼ C) <-> (A e. B /\ A e. ∼ C))
4		elcomplg 3218	. . 3 |- (A e. B -> (A e. ∼ C <-> -. A e. C))
5	4	pm5.32i 618	. 2 |- ((A e. B /\ A e. ∼ C) <-> (A e. B /\ -. A e. C))
6	2, 3, 5	3bitri 262	1 |- (A e. (B \ C) <-> (A e. B /\ -. A e. C))

Syntax hints:  -. wn 3   <-> wb 176   /\ wa 358   e. wcel 1710   ∼ ccompl 3205   \ cdif 3206   i^i cin 3208

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-v 2861  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-dif 3215

This theorem is referenced by:  dfdif2  3222  elsymdif  3223  difeqri  3387  eldifi  3388  eldifn  3389  neldif  3391  difdif  3392  ddif  3398  ssconb  3399  sscon  3400  ssdif  3401  dfss4  3489  dfun2  3490  dfin2  3491  difin  3492  indifdir  3511  undif3  3515  difin2  3516  symdif2  3520  dfnul2  3552  reldisj  3594  disj3  3595  undif4  3607  ssdif0  3609  pssnel  3615  difin0ss  3616  inssdif0  3617  inundif  3628  ssundif  3633  eldifsn  3839  difprsnss  3846  iundif2  4033  iindif2  4035  opkelimagekg  4271  dfpw2  4327  dfaddc2  4381  dfnnc2  4395  nnsucelrlem1  4424  nnsucelr  4428  ltfinex  4464  ssfin  4470  eqpw1relk  4479  ncfinraiselem2  4480  ncfinlowerlem1  4482  eqtfinrelk  4486  evenodddisjlem1  4515  nnadjoinlem1  4519  nnpweqlem1  4522  sfintfinlem1  4531  tfinnnlem1  4533  spfinex  4537  brdif  4694  cnvdif  5034  imadif  5171  releqmpt2  5809  funsex  5828  transex  5910  antisymex  5912  connexex  5913  foundex  5914  extex  5915  symex  5916  2p1e3c  6156  nchoicelem11  6299  nchoicelem16  6304  fnfreclem1  6317