Theorem otelins3 5793

Description: Ordered triple membership in Ins3. (Contributed by SF, 13-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
otelins3.1	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
otelins3	|- (<.A, <.B, C>.>. e. Ins3 R <-> <.A, B>. e. R)

Proof of Theorem otelins3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2868	. . 3 |- (<.A, <.B, C>.>. e. Ins3 R -> <.A, <.B, C>.>. e. _V)
2		opexb 4604	. . . 4 |- (<.A, <.B, C>.>. e. _V <-> (A e. _V /\ <.B, C>. e. _V))
3	2	simplbi 446	. . 3 |- (<.A, <.B, C>.>. e. _V -> A e. _V)
4	1, 3	syl 15	. 2 |- (<.A, <.B, C>.>. e. Ins3 R -> A e. _V)
5		elex 2868	. . 3 |- (<.A, B>. e. R -> <.A, B>. e. _V)
6		opexb 4604	. . . 4 |- (<.A, B>. e. _V <-> (A e. _V /\ B e. _V))
7	6	simplbi 446	. . 3 |- (<.A, B>. e. _V -> A e. _V)
8	5, 7	syl 15	. 2 |- (<.A, B>. e. R -> A e. _V)
9		opeq1 4579	. . . 4 |- (x = A -> <.x, <.B, C>.>. = <.A, <.B, C>.>.)
10	9	eleq1d 2419	. . 3 |- (x = A -> (<.x, <.B, C>.>. e. Ins3 R <-> <.A, <.B, C>.>. e. Ins3 R))
11		opeq1 4579	. . . 4 |- (x = A -> <.x, B>. = <.A, B>.)
12	11	eleq1d 2419	. . 3 |- (x = A -> (<.x, B>. e. R <-> <.A, B>. e. R))
13		vex 2863	. . . . 5 |- x e. _V
14		otelins3.1	. . . . 5 |- C e. _V
15	13, 14	opex 4589	. . . 4 |- <.x, C>. e. _V
16		df-ins3 5753	. . . . . 6 |- Ins3 R = (R (x) _V)
17	16	eleq2i 2417	. . . . 5 |- (<.x, <.B, C>.>. e. Ins3 R <-> <.x, <.B, C>.>. e. (R (x) _V))
18		oteltxp 5783	. . . . 5 |- (<.x, <.B, C>.>. e. (R (x) _V) <-> (<.x, B>. e. R /\ <.x, C>. e. _V))
19	17, 18	bitri 240	. . . 4 |- (<.x, <.B, C>.>. e. Ins3 R <-> (<.x, B>. e. R /\ <.x, C>. e. _V))
20	15, 19	mpbiran2 885	. . 3 |- (<.x, <.B, C>.>. e. Ins3 R <-> <.x, B>. e. R)
21	10, 12, 20	vtoclbg 2916	. 2 |- (A e. _V -> (<.A, <.B, C>.>. e. Ins3 R <-> <.A, B>. e. R))
22	4, 8, 21	pm5.21nii 342	1 |- (<.A, <.B, C>.>. e. Ins3 R <-> <.A, B>. e. R)

Syntax hints:   <-> wb 176   /\ wa 358   = wceq 1642   e. wcel 1710  _Vcvv 2860  <.cop 4562   (x) ctxp 5736   Ins3 cins3 5752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-co 4727  df-cnv 4786  df-2nd 4798  df-txp 5737  df-ins3 5753

This theorem is referenced by:  brimage  5794  releqel  5808  releqmpt2  5810  cupex  5817  composeex  5821  addcfnex  5825  funsex  5829  transex  5911  antisymex  5913  foundex  5915  extex  5916  qsexg  5983  ovcelem1  6172  ceex  6175  tcfnex  6245  nmembers1lem1  6269  nncdiv3lem1  6276  fnfreclem1  6318