Theorem otelins3 5792

Description: Ordered triple membership in Ins3. (Contributed by SF, 13-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
otelins3.1	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
otelins3	|- (<.A, <.B, C>.>. e. Ins3 R <-> <.A, B>. e. R)

Proof of Theorem otelins3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2867	. . 3 |- (<.A, <.B, C>.>. e. Ins3 R -> <.A, <.B, C>.>. e. _V)
2		opexb 4603	. . . 4 |- (<.A, <.B, C>.>. e. _V <-> (A e. _V /\ <.B, C>. e. _V))
3	2	simplbi 446	. . 3 |- (<.A, <.B, C>.>. e. _V -> A e. _V)
4	1, 3	syl 15	. 2 |- (<.A, <.B, C>.>. e. Ins3 R -> A e. _V)
5		elex 2867	. . 3 |- (<.A, B>. e. R -> <.A, B>. e. _V)
6		opexb 4603	. . . 4 |- (<.A, B>. e. _V <-> (A e. _V /\ B e. _V))
7	6	simplbi 446	. . 3 |- (<.A, B>. e. _V -> A e. _V)
8	5, 7	syl 15	. 2 |- (<.A, B>. e. R -> A e. _V)
9		opeq1 4578	. . . 4 |- (x = A -> <.x, <.B, C>.>. = <.A, <.B, C>.>.)
10	9	eleq1d 2419	. . 3 |- (x = A -> (<.x, <.B, C>.>. e. Ins3 R <-> <.A, <.B, C>.>. e. Ins3 R))
11		opeq1 4578	. . . 4 |- (x = A -> <.x, B>. = <.A, B>.)
12	11	eleq1d 2419	. . 3 |- (x = A -> (<.x, B>. e. R <-> <.A, B>. e. R))
13		vex 2862	. . . . 5 |- x e. _V
14		otelins3.1	. . . . 5 |- C e. _V
15	13, 14	opex 4588	. . . 4 |- <.x, C>. e. _V
16		df-ins3 5752	. . . . . 6 |- Ins3 R = (R (x) _V)
17	16	eleq2i 2417	. . . . 5 |- (<.x, <.B, C>.>. e. Ins3 R <-> <.x, <.B, C>.>. e. (R (x) _V))
18		oteltxp 5782	. . . . 5 |- (<.x, <.B, C>.>. e. (R (x) _V) <-> (<.x, B>. e. R /\ <.x, C>. e. _V))
19	17, 18	bitri 240	. . . 4 |- (<.x, <.B, C>.>. e. Ins3 R <-> (<.x, B>. e. R /\ <.x, C>. e. _V))
20	15, 19	mpbiran2 885	. . 3 |- (<.x, <.B, C>.>. e. Ins3 R <-> <.x, B>. e. R)
21	10, 12, 20	vtoclbg 2915	. 2 |- (A e. _V -> (<.A, <.B, C>.>. e. Ins3 R <-> <.A, B>. e. R))
22	4, 8, 21	pm5.21nii 342	1 |- (<.A, <.B, C>.>. e. Ins3 R <-> <.A, B>. e. R)

Syntax hints:   <-> wb 176   /\ wa 358   = wceq 1642   e. wcel 1710  _Vcvv 2859  <.cop 4561   (x) ctxp 5735   Ins3 cins3 5751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-co 4726  df-cnv 4785  df-2nd 4797  df-txp 5736  df-ins3 5752

This theorem is referenced by:  brimage  5793  releqel  5807  releqmpt2  5809  cupex  5816  composeex  5820  addcfnex  5824  funsex  5828  transex  5910  antisymex  5912  foundex  5914  extex  5915  qsexg  5982  ovcelem1  6171  ceex  6174  tcfnex  6244  nmembers1lem1  6268  nncdiv3lem1  6275  fnfreclem1  6317