Theorem fnfreclem1 6318

Description: Lemma for fnfrec 6321. Establish stratification for induction. (Contributed by Scott Fenton, 31-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnfreclem1	⊢ (F ∈ V → {w ∣ ∀y∀z((wFy ∧ wFz) → y = z)} ∈ V)

Distinct variable group:   w,F,y,z

Allowed substitution hints:   V(y,z,w)

Proof of Theorem fnfreclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2863	. . . . 5 ⊢ w ∈ V
2	1	elcompl 3226	. . . 4 ⊢ (w ∈ ∼ ran ran (((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∖ Ins3 I ) ↔ ¬ w ∈ ran ran (((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∖ Ins3 I ))
3		elrn2 4898	. . . . . 6 ⊢ (w ∈ ran ran (((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∖ Ins3 I ) ↔ ∃y⟨y, w⟩ ∈ ran (((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∖ Ins3 I ))
4		elrn2 4898	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨y, w⟩ ∈ ran (((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∖ Ins3 I ) ↔ ∃z⟨z, ⟨y, w⟩⟩ ∈ (((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∖ Ins3 I ))
5		eldif 3222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨z, ⟨y, w⟩⟩ ∈ (((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∖ Ins3 I ) ↔ (⟨z, ⟨y, w⟩⟩ ∈ ((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∧ ¬ ⟨z, ⟨y, w⟩⟩ ∈ Ins3 I ))
6		elin 3220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨z, ⟨y, w⟩⟩ ∈ ((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ↔ (⟨z, ⟨y, w⟩⟩ ∈ (V × ◡F) ∧ ⟨z, ⟨y, w⟩⟩ ∈ Ins2 ◡F))
7		opelcnv 4894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨y, w⟩ ∈ ◡F ↔ ⟨w, y⟩ ∈ F)
8		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ z ∈ V
9		opelxp 4812	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨z, ⟨y, w⟩⟩ ∈ (V × ◡F) ↔ (z ∈ V ∧ ⟨y, w⟩ ∈ ◡F))
10	8, 9	mpbiran 884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨z, ⟨y, w⟩⟩ ∈ (V × ◡F) ↔ ⟨y, w⟩ ∈ ◡F)
11		df-br 4641	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (wFy ↔ ⟨w, y⟩ ∈ F)
12	7, 10, 11	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨z, ⟨y, w⟩⟩ ∈ (V × ◡F) ↔ wFy)
13		opelcnv 4894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨z, w⟩ ∈ ◡F ↔ ⟨w, z⟩ ∈ F)
14		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ y ∈ V
15	14	otelins2 5792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨z, ⟨y, w⟩⟩ ∈ Ins2 ◡F ↔ ⟨z, w⟩ ∈ ◡F)
16		df-br 4641	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (wFz ↔ ⟨w, z⟩ ∈ F)
17	13, 15, 16	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨z, ⟨y, w⟩⟩ ∈ Ins2 ◡F ↔ wFz)
18	12, 17	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨z, ⟨y, w⟩⟩ ∈ (V × ◡F) ∧ ⟨z, ⟨y, w⟩⟩ ∈ Ins2 ◡F) ↔ (wFy ∧ wFz))
19	6, 18	bitri 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨z, ⟨y, w⟩⟩ ∈ ((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ↔ (wFy ∧ wFz))
20	1	otelins3 5793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨z, ⟨y, w⟩⟩ ∈ Ins3 I ↔ ⟨z, y⟩ ∈ I )
21		df-br 4641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (z I y ↔ ⟨z, y⟩ ∈ I )
22	14	ideq 4871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (z I y ↔ z = y)
23		equcom 1680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (z = y ↔ y = z)
24	22, 23	bitri 240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (z I y ↔ y = z)
25	20, 21, 24	3bitr2i 264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨z, ⟨y, w⟩⟩ ∈ Ins3 I ↔ y = z)
26	25	notbii 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ⟨z, ⟨y, w⟩⟩ ∈ Ins3 I ↔ ¬ y = z)
27	19, 26	anbi12i 678	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨z, ⟨y, w⟩⟩ ∈ ((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∧ ¬ ⟨z, ⟨y, w⟩⟩ ∈ Ins3 I ) ↔ ((wFy ∧ wFz) ∧ ¬ y = z))
28	5, 27	bitri 240	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨z, ⟨y, w⟩⟩ ∈ (((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∖ Ins3 I ) ↔ ((wFy ∧ wFz) ∧ ¬ y = z))
29	28	exbii 1582	. . . . . . . 8 ⊢ (∃z⟨z, ⟨y, w⟩⟩ ∈ (((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∖ Ins3 I ) ↔ ∃z((wFy ∧ wFz) ∧ ¬ y = z))
30	4, 29	bitri 240	. . . . . . 7 ⊢ (⟨y, w⟩ ∈ ran (((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∖ Ins3 I ) ↔ ∃z((wFy ∧ wFz) ∧ ¬ y = z))
31	30	exbii 1582	. . . . . 6 ⊢ (∃y⟨y, w⟩ ∈ ran (((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∖ Ins3 I ) ↔ ∃y∃z((wFy ∧ wFz) ∧ ¬ y = z))
32		exanali 1585	. . . . . . . 8 ⊢ (∃z((wFy ∧ wFz) ∧ ¬ y = z) ↔ ¬ ∀z((wFy ∧ wFz) → y = z))
33	32	exbii 1582	. . . . . . 7 ⊢ (∃y∃z((wFy ∧ wFz) ∧ ¬ y = z) ↔ ∃y ¬ ∀z((wFy ∧ wFz) → y = z))
34		exnal 1574	. . . . . . 7 ⊢ (∃y ¬ ∀z((wFy ∧ wFz) → y = z) ↔ ¬ ∀y∀z((wFy ∧ wFz) → y = z))
35	33, 34	bitri 240	. . . . . 6 ⊢ (∃y∃z((wFy ∧ wFz) ∧ ¬ y = z) ↔ ¬ ∀y∀z((wFy ∧ wFz) → y = z))
36	3, 31, 35	3bitrri 263	. . . . 5 ⊢ (¬ ∀y∀z((wFy ∧ wFz) → y = z) ↔ w ∈ ran ran (((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∖ Ins3 I ))
37	36	con1bii 321	. . . 4 ⊢ (¬ w ∈ ran ran (((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∖ Ins3 I ) ↔ ∀y∀z((wFy ∧ wFz) → y = z))
38	2, 37	bitri 240	. . 3 ⊢ (w ∈ ∼ ran ran (((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∖ Ins3 I ) ↔ ∀y∀z((wFy ∧ wFz) → y = z))
39	38	abbi2i 2465	. 2 ⊢ ∼ ran ran (((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∖ Ins3 I ) = {w ∣ ∀y∀z((wFy ∧ wFz) → y = z)}
40		vvex 4110	. . . . . 6 ⊢ V ∈ V
41		cnvexg 5102	. . . . . 6 ⊢ (F ∈ V → ◡F ∈ V)
42		xpexg 5115	. . . . . 6 ⊢ ((V ∈ V ∧ ◡F ∈ V) → (V × ◡F) ∈ V)
43	40, 41, 42	sylancr 644	. . . . 5 ⊢ (F ∈ V → (V × ◡F) ∈ V)
44		ins2exg 5796	. . . . . 6 ⊢ (◡F ∈ V → Ins2 ◡F ∈ V)
45	41, 44	syl 15	. . . . 5 ⊢ (F ∈ V → Ins2 ◡F ∈ V)
46		inexg 4101	. . . . 5 ⊢ (((V × ◡F) ∈ V ∧ Ins2 ◡F ∈ V) → ((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∈ V)
47	43, 45, 46	syl2anc 642	. . . 4 ⊢ (F ∈ V → ((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∈ V)
48		idex 5505	. . . . . 6 ⊢ I ∈ V
49	48	ins3ex 5799	. . . . 5 ⊢ Ins3 I ∈ V
50		difexg 4103	. . . . 5 ⊢ ((((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∈ V ∧ Ins3 I ∈ V) → (((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∖ Ins3 I ) ∈ V)
51	49, 50	mpan2 652	. . . 4 ⊢ (((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∈ V → (((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∖ Ins3 I ) ∈ V)
52		rnexg 5105	. . . 4 ⊢ ((((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∖ Ins3 I ) ∈ V → ran (((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∖ Ins3 I ) ∈ V)
53	47, 51, 52	3syl 18	. . 3 ⊢ (F ∈ V → ran (((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∖ Ins3 I ) ∈ V)
54		rnexg 5105	. . 3 ⊢ (ran (((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∖ Ins3 I ) ∈ V → ran ran (((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∖ Ins3 I ) ∈ V)
55		complexg 4100	. . 3 ⊢ (ran ran (((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∖ Ins3 I ) ∈ V → ∼ ran ran (((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∖ Ins3 I ) ∈ V)
56	53, 54, 55	3syl 18	. 2 ⊢ (F ∈ V → ∼ ran ran (((V × ◡F) ∩ Ins2 ◡F) ∖ Ins3 I ) ∈ V)
57	39, 56	syl5eqelr 2438	1 ⊢ (F ∈ V → {w ∣ ∀y∀z((wFy ∧ wFz) → y = z)} ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 358  ∀wal 1540  ∃wex 1541   ∈ wcel 1710  {cab 2339  Vcvv 2860   ∼ ccompl 3206   ∖ cdif 3207   ∩ cin 3209  ⟨cop 4562   class class class wbr 4640   I cid 4764   × cxp 4771  ^◡ccnv 4772  ran crn 4774   Ins2 cins2 5750   Ins3 cins3 5752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-2nd 4798  df-txp 5737  df-ins2 5751  df-ins3 5753

This theorem is referenced by:  fnfrec  6321