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Theorem fnpprod 5843
Description: Functionhood law for parallel product. (Contributed by SF, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnpprod PProd

Proof of Theorem fnpprod
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ee4anv 1915 . . . . . . . . 9
2 ee4anv 1915 . . . . . . . . . . 11
322exbii 1583 . . . . . . . . . 10
432exbii 1583 . . . . . . . . 9
5 brpprod 5839 . . . . . . . . . 10 PProd
6 brpprod 5839 . . . . . . . . . 10 PProd
75, 6anbi12i 678 . . . . . . . . 9 PProd PProd
81, 4, 73bitr4ri 269 . . . . . . . 8 PProd PProd
9 an42 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10 fununiq 5517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
11103expib 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
12 fununiq 5517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1312eqcomd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
14133expib 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1511, 14im2anan9 808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
169, 15syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1716exp3acom23 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
18 breq1 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
19 breq1 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2018, 19bi2anan9 843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2120adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
22 eqeq2 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
23 opth 4602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2422, 23syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2524imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2625adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2721, 26imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2817, 27syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2928exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
30293impd 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3130com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . 16
32 eqeq1 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
33 eqcom 2355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
34 opth 4602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3533, 34bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3632, 35syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
37363anbi1d 1256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3837adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
39 eqeq1 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4039adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4138, 40imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4241imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4331, 42syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . 15
4443exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . 14
45443impd 1165 . . . . . . . . . . . . 13
4645imp3a 420 . . . . . . . . . . . 12
4746exlimdvv 1637 . . . . . . . . . . 11
4847exlimdvv 1637 . . . . . . . . . 10
4948exlimdvv 1637 . . . . . . . . 9
5049exlimdvv 1637 . . . . . . . 8
518, 50syl5bi 208 . . . . . . 7 PProd PProd
5251alrimiv 1631 . . . . . 6 PProd PProd
5352alrimivv 1632 . . . . 5 PProd PProd
54 dffun2 5119 . . . . 5 PProd PProd PProd
5553, 54sylibr 203 . . . 4 PProd
56 dmpprod 5840 . . . . 5 PProd
57 xpeq12 4803 . . . . 5
5856, 57syl5eq 2397 . . . 4 PProd
5955, 58anim12i 549 . . 3 PProd PProd
6059an4s 799 . 2 PProd PProd
61 df-fn 4790 . . 3
62 df-fn 4790 . . 3
6361, 62anbi12i 678 . 2
64 df-fn 4790 . 2 PProd PProd PProd
6560, 63, 643imtr4i 257 1 PProd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wal 1540  wex 1541   wceq 1642  cop 4561   class class class wbr 4639   cxp 4770   cdm 4772   wfun 4775   wfn 4776   PProd cpprod 5737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-fun 4789  df-fn 4790  df-2nd 4797  df-txp 5736  df-pprod 5738
This theorem is referenced by:  f1opprod  5844
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