Theorem nfunv 5139

Description: The universe is not a function. (Contributed by Raph Levien, 27-Jan-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nfunv	|- -. Fun _V

Proof of Theorem nfunv

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2863	. . . . . . 7 |- x e. _V
2		vex 2863	. . . . . . 7 |- y e. _V
3	1, 2	opex 4589	. . . . . 6 |- <.x, y>. e. _V
4	2	complex 4105	. . . . . . 7 |- ∼ y e. _V
5	1, 4	opex 4589	. . . . . 6 |- <.x, ∼ y>. e. _V
6	3, 5	pm3.2i 441	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. _V /\ <.x, ∼ y>. e. _V)
7		necompl 3545	. . . . . 6 |- ∼ y =/= y
8	7	necomi 2599	. . . . 5 |- y =/= ∼ y
9	6, 8	pm3.2i 441	. . . 4 |- ((<.x, y>. e. _V /\ <.x, ∼ y>. e. _V) /\ y =/= ∼ y)
10		opeq2 4580	. . . . . . . 8 |- (z = ∼ y -> <.x, z>. = <.x, ∼ y>.)
11	10	eleq1d 2419	. . . . . . 7 |- (z = ∼ y -> (<.x, z>. e. _V <-> <.x, ∼ y>. e. _V))
12	11	anbi2d 684	. . . . . 6 |- (z = ∼ y -> ((<.x, y>. e. _V /\ <.x, z>. e. _V) <-> (<.x, y>. e. _V /\ <.x, ∼ y>. e. _V)))
13		df-ne 2519	. . . . . . 7 |- (y =/= z <-> -. y = z)
14		neeq2 2526	. . . . . . 7 |- (z = ∼ y -> (y =/= z <-> y =/= ∼ y))
15	13, 14	syl5bbr 250	. . . . . 6 |- (z = ∼ y -> (-. y = z <-> y =/= ∼ y))
16	12, 15	anbi12d 691	. . . . 5 |- (z = ∼ y -> (((<.x, y>. e. _V /\ <.x, z>. e. _V) /\ -. y = z) <-> ((<.x, y>. e. _V /\ <.x, ∼ y>. e. _V) /\ y =/= ∼ y)))
17	4, 16	spcev 2947	. . . 4 |- (((<.x, y>. e. _V /\ <.x, ∼ y>. e. _V) /\ y =/= ∼ y) -> E.z((<.x, y>. e. _V /\ <.x, z>. e. _V) /\ -. y = z))
18		19.8a 1756	. . . . 5 |- (E.yE.z((<.x, y>. e. _V /\ <.x, z>. e. _V) /\ -. y = z) -> E.xE.yE.z((<.x, y>. e. _V /\ <.x, z>. e. _V) /\ -. y = z))
19	18	19.23bi 1759	. . . 4 |- (E.z((<.x, y>. e. _V /\ <.x, z>. e. _V) /\ -. y = z) -> E.xE.yE.z((<.x, y>. e. _V /\ <.x, z>. e. _V) /\ -. y = z))
20	9, 17, 19	mp2b 9	. . 3 |- E.xE.yE.z((<.x, y>. e. _V /\ <.x, z>. e. _V) /\ -. y = z)
21		exanali 1585	. . . . . . 7 |- (E.z((<.x, y>. e. _V /\ <.x, z>. e. _V) /\ -. y = z) <-> -. A.z((<.x, y>. e. _V /\ <.x, z>. e. _V) -> y = z))
22	21	exbii 1582	. . . . . 6 |- (E.yE.z((<.x, y>. e. _V /\ <.x, z>. e. _V) /\ -. y = z) <-> E.y -. A.z((<.x, y>. e. _V /\ <.x, z>. e. _V) -> y = z))
23		exnal 1574	. . . . . 6 |- (E.y -. A.z((<.x, y>. e. _V /\ <.x, z>. e. _V) -> y = z) <-> -. A.yA.z((<.x, y>. e. _V /\ <.x, z>. e. _V) -> y = z))
24	22, 23	bitri 240	. . . . 5 |- (E.yE.z((<.x, y>. e. _V /\ <.x, z>. e. _V) /\ -. y = z) <-> -. A.yA.z((<.x, y>. e. _V /\ <.x, z>. e. _V) -> y = z))
25	24	exbii 1582	. . . 4 |- (E.xE.yE.z((<.x, y>. e. _V /\ <.x, z>. e. _V) /\ -. y = z) <-> E.x -. A.yA.z((<.x, y>. e. _V /\ <.x, z>. e. _V) -> y = z))
26		exnal 1574	. . . 4 |- (E.x -. A.yA.z((<.x, y>. e. _V /\ <.x, z>. e. _V) -> y = z) <-> -. A.xA.yA.z((<.x, y>. e. _V /\ <.x, z>. e. _V) -> y = z))
27	25, 26	bitri 240	. . 3 |- (E.xE.yE.z((<.x, y>. e. _V /\ <.x, z>. e. _V) /\ -. y = z) <-> -. A.xA.yA.z((<.x, y>. e. _V /\ <.x, z>. e. _V) -> y = z))
28	20, 27	mpbi 199	. 2 |- -. A.xA.yA.z((<.x, y>. e. _V /\ <.x, z>. e. _V) -> y = z)
29		dffun4 5122	. 2 |- (Fun _V <-> A.xA.yA.z((<.x, y>. e. _V /\ <.x, z>. e. _V) -> y = z))
30	28, 29	mtbir 290	1 |- -. Fun _V

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 358  A.wal 1540  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710   =/= wne 2517  _Vcvv 2860   ∼ ccompl 3206  <.cop 4562  Fun wfun 4776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-co 4727  df-id 4768  df-cnv 4786  df-fun 4790

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