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Theorem nfunv 5138
Description: The universe is not a function. (Contributed by Raph Levien, 27-Jan-2004.)
Assertion
Ref Expression
nfunv ¬ Fun V

Proof of Theorem nfunv
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2862 . . . . . . 7 x V
2 vex 2862 . . . . . . 7 y V
31, 2opex 4588 . . . . . 6 x, y V
42complex 4104 . . . . . . 7 y V
51, 4opex 4588 . . . . . 6 x, ∼ y V
63, 5pm3.2i 441 . . . . 5 (x, y V x, ∼ y V)
7 necompl 3544 . . . . . 6 yy
87necomi 2598 . . . . 5 y ≠ ∼ y
96, 8pm3.2i 441 . . . 4 ((x, y V x, ∼ y V) y ≠ ∼ y)
10 opeq2 4579 . . . . . . . 8 (z = ∼ yx, z = x, ∼ y)
1110eleq1d 2419 . . . . . . 7 (z = ∼ y → (x, z V ↔ x, ∼ y V))
1211anbi2d 684 . . . . . 6 (z = ∼ y → ((x, y V x, z V) ↔ (x, y V x, ∼ y V)))
13 df-ne 2518 . . . . . . 7 (yz ↔ ¬ y = z)
14 neeq2 2525 . . . . . . 7 (z = ∼ y → (yzy ≠ ∼ y))
1513, 14syl5bbr 250 . . . . . 6 (z = ∼ y → (¬ y = zy ≠ ∼ y))
1612, 15anbi12d 691 . . . . 5 (z = ∼ y → (((x, y V x, z V) ¬ y = z) ↔ ((x, y V x, ∼ y V) y ≠ ∼ y)))
174, 16spcev 2946 . . . 4 (((x, y V x, ∼ y V) y ≠ ∼ y) → z((x, y V x, z V) ¬ y = z))
18 19.8a 1756 . . . . 5 (yz((x, y V x, z V) ¬ y = z) → xyz((x, y V x, z V) ¬ y = z))
191819.23bi 1759 . . . 4 (z((x, y V x, z V) ¬ y = z) → xyz((x, y V x, z V) ¬ y = z))
209, 17, 19mp2b 9 . . 3 xyz((x, y V x, z V) ¬ y = z)
21 exanali 1585 . . . . . . 7 (z((x, y V x, z V) ¬ y = z) ↔ ¬ z((x, y V x, z V) → y = z))
2221exbii 1582 . . . . . 6 (yz((x, y V x, z V) ¬ y = z) ↔ y ¬ z((x, y V x, z V) → y = z))
23 exnal 1574 . . . . . 6 (y ¬ z((x, y V x, z V) → y = z) ↔ ¬ yz((x, y V x, z V) → y = z))
2422, 23bitri 240 . . . . 5 (yz((x, y V x, z V) ¬ y = z) ↔ ¬ yz((x, y V x, z V) → y = z))
2524exbii 1582 . . . 4 (xyz((x, y V x, z V) ¬ y = z) ↔ x ¬ yz((x, y V x, z V) → y = z))
26 exnal 1574 . . . 4 (x ¬ yz((x, y V x, z V) → y = z) ↔ ¬ xyz((x, y V x, z V) → y = z))
2725, 26bitri 240 . . 3 (xyz((x, y V x, z V) ¬ y = z) ↔ ¬ xyz((x, y V x, z V) → y = z))
2820, 27mpbi 199 . 2 ¬ xyz((x, y V x, z V) → y = z)
29 dffun4 5121 . 2 (Fun V ↔ xyz((x, y V x, z V) → y = z))
3028, 29mtbir 290 1 ¬ Fun V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 358  wal 1540  wex 1541   = wceq 1642   wcel 1710  wne 2516  Vcvv 2859  ccompl 3205  cop 4561  Fun wfun 4775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-id 4767  df-cnv 4785  df-fun 4789
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