Theorem nnc3n3p2 6280

Description: Three times a natural is not two more than three times a natural. Another part of Theorem 3.4 of [Specker] p. 973. (Contributed by SF, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nnc3n3p2	|- ((A e. Nn /\ B e. Nn ) -> -. ((A +o A) +o A) = (((B +o B) +o B) +o 2c))

Proof of Theorem nnc3n3p2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4404	. . . . 5 |- (B e. Nn -> (B +o 1c) e. Nn )
2		nnc3n3p1 6279	. . . . 5 |- (((B +o 1c) e. Nn /\ A e. Nn ) -> -. (((B +o 1c) +o (B +o 1c)) +o (B +o 1c)) = (((A +o A) +o A) +o 1c))
3	1, 2	sylan 457	. . . 4 |- ((B e. Nn /\ A e. Nn ) -> -. (((B +o 1c) +o (B +o 1c)) +o (B +o 1c)) = (((A +o A) +o A) +o 1c))
4	3	ancoms 439	. . 3 |- ((A e. Nn /\ B e. Nn ) -> -. (((B +o 1c) +o (B +o 1c)) +o (B +o 1c)) = (((A +o A) +o A) +o 1c))
5		eqcom 2355	. . . 4 |- ((((A +o A) +o A) +o 1c) = ((((B +o B) +o B) +o 2c) +o 1c) <-> ((((B +o B) +o B) +o 2c) +o 1c) = (((A +o A) +o A) +o 1c))
6		addc4 4418	. . . . . . . . 9 |- ((B +o 1c) +o (B +o 1c)) = ((B +o B) +o (1c +o 1c))
7	6	addceq1i 4387	. . . . . . . 8 |- (((B +o 1c) +o (B +o 1c)) +o B) = (((B +o B) +o (1c +o 1c)) +o B)
8		addc32 4417	. . . . . . . 8 |- (((B +o B) +o (1c +o 1c)) +o B) = (((B +o B) +o B) +o (1c +o 1c))
9		1p1e2c 6156	. . . . . . . . 9 |- (1c +o 1c) = 2c
10	9	addceq2i 4388	. . . . . . . 8 |- (((B +o B) +o B) +o (1c +o 1c)) = (((B +o B) +o B) +o 2c)
11	7, 8, 10	3eqtrri 2378	. . . . . . 7 |- (((B +o B) +o B) +o 2c) = (((B +o 1c) +o (B +o 1c)) +o B)
12	11	addceq1i 4387	. . . . . 6 |- ((((B +o B) +o B) +o 2c) +o 1c) = ((((B +o 1c) +o (B +o 1c)) +o B) +o 1c)
13		addcass 4416	. . . . . 6 |- ((((B +o 1c) +o (B +o 1c)) +o B) +o 1c) = (((B +o 1c) +o (B +o 1c)) +o (B +o 1c))
14	12, 13	eqtri 2373	. . . . 5 |- ((((B +o B) +o B) +o 2c) +o 1c) = (((B +o 1c) +o (B +o 1c)) +o (B +o 1c))
15	14	eqeq1i 2360	. . . 4 |- (((((B +o B) +o B) +o 2c) +o 1c) = (((A +o A) +o A) +o 1c) <-> (((B +o 1c) +o (B +o 1c)) +o (B +o 1c)) = (((A +o A) +o A) +o 1c))
16	5, 15	bitri 240	. . 3 |- ((((A +o A) +o A) +o 1c) = ((((B +o B) +o B) +o 2c) +o 1c) <-> (((B +o 1c) +o (B +o 1c)) +o (B +o 1c)) = (((A +o A) +o A) +o 1c))
17	4, 16	sylnibr 296	. 2 |- ((A e. Nn /\ B e. Nn ) -> -. (((A +o A) +o A) +o 1c) = ((((B +o B) +o B) +o 2c) +o 1c))
18		nncaddccl 4420	. . . . 5 |- ((A e. Nn /\ A e. Nn ) -> (A +o A) e. Nn )
19	18	anidms 626	. . . 4 |- (A e. Nn -> (A +o A) e. Nn )
20		nncaddccl 4420	. . . 4 |- (((A +o A) e. Nn /\ A e. Nn ) -> ((A +o A) +o A) e. Nn )
21	19, 20	mpancom 650	. . 3 |- (A e. Nn -> ((A +o A) +o A) e. Nn )
22		nncaddccl 4420	. . . . . 6 |- ((B e. Nn /\ B e. Nn ) -> (B +o B) e. Nn )
23	22	anidms 626	. . . . 5 |- (B e. Nn -> (B +o B) e. Nn )
24		nncaddccl 4420	. . . . 5 |- (((B +o B) e. Nn /\ B e. Nn ) -> ((B +o B) +o B) e. Nn )
25	23, 24	mpancom 650	. . . 4 |- (B e. Nn -> ((B +o B) +o B) e. Nn )
26		2nnc 6168	. . . 4 |- 2c e. Nn
27		nncaddccl 4420	. . . 4 |- ((((B +o B) +o B) e. Nn /\ 2c e. Nn ) -> (((B +o B) +o B) +o 2c) e. Nn )
28	25, 26, 27	sylancl 643	. . 3 |- (B e. Nn -> (((B +o B) +o B) +o 2c) e. Nn )
29		suc11nnc 4559	. . 3 |- ((((A +o A) +o A) e. Nn /\ (((B +o B) +o B) +o 2c) e. Nn ) -> ((((A +o A) +o A) +o 1c) = ((((B +o B) +o B) +o 2c) +o 1c) <-> ((A +o A) +o A) = (((B +o B) +o B) +o 2c)))
30	21, 28, 29	syl2an 463	. 2 |- ((A e. Nn /\ B e. Nn ) -> ((((A +o A) +o A) +o 1c) = ((((B +o B) +o B) +o 2c) +o 1c) <-> ((A +o A) +o A) = (((B +o B) +o B) +o 2c)))
31	17, 30	mtbid 291	1 |- ((A e. Nn /\ B e. Nn ) -> -. ((A +o A) +o A) = (((B +o B) +o B) +o 2c))

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   = wceq 1642   e. wcel 1710  1_cc1c 4135   Nn cnnc 4374   +o cplc 4376  2_cc2c 6095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-csb 3138  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3972  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-f1 4793  df-fo 4794  df-f1o 4795  df-fv 4796  df-2nd 4798  df-ov 5527  df-oprab 5529  df-mpt 5653  df-mpt2 5655  df-txp 5737  df-cup 5743  df-disj 5745  df-addcfn 5747  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-image 5755  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-funs 5761  df-fns 5763  df-trans 5900  df-sym 5909  df-er 5910  df-ec 5948  df-qs 5952  df-en 6030  df-ncs 6099  df-lec 6100  df-nc 6102  df-2c 6105

This theorem is referenced by:  nchoicelem1  6290  nchoicelem2  6291