Theorem nchoicelem1 6290

Description: Lemma for nchoice 6309. A finite cardinal is not one more than its T-raising. (Contributed by SF, 3-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nchoicelem1	|- (A e. Nn -> -. A = ( Tc A +o 1c))

Proof of Theorem nchoicelem1

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncdiv3 6278	. 2 |- (A e. Nn -> E.n e. Nn (A = ((n +o n) +o n) \/ A = (((n +o n) +o n) +o 1c) \/ A = (((n +o n) +o n) +o 2c)))
2		id 19	. . . . . . 7 |- (n e. Nn -> n e. Nn )
3		nntccl 6171	. . . . . . 7 |- (n e. Nn -> Tc n e. Nn )
4		nnc3n3p1 6279	. . . . . . 7 |- ((n e. Nn /\ Tc n e. Nn ) -> -. ((n +o n) +o n) = ((( Tc n +o Tc n) +o Tc n) +o 1c))
5	2, 3, 4	syl2anc 642	. . . . . 6 |- (n e. Nn -> -. ((n +o n) +o n) = ((( Tc n +o Tc n) +o Tc n) +o 1c))
6		nncaddccl 4420	. . . . . . . . . . . 12 |- ((n e. Nn /\ n e. Nn ) -> (n +o n) e. Nn )
7	6	anidms 626	. . . . . . . . . . 11 |- (n e. Nn -> (n +o n) e. Nn )
8		nnnc 6147	. . . . . . . . . . 11 |- ((n +o n) e. Nn -> (n +o n) e. NC )
9	7, 8	syl 15	. . . . . . . . . 10 |- (n e. Nn -> (n +o n) e. NC )
10		nnnc 6147	. . . . . . . . . 10 |- (n e. Nn -> n e. NC )
11		tcdi 6165	. . . . . . . . . 10 |- (((n +o n) e. NC /\ n e. NC ) -> Tc ((n +o n) +o n) = ( Tc (n +o n) +o Tc n))
12	9, 10, 11	syl2anc 642	. . . . . . . . 9 |- (n e. Nn -> Tc ((n +o n) +o n) = ( Tc (n +o n) +o Tc n))
13		tcdi 6165	. . . . . . . . . . 11 |- ((n e. NC /\ n e. NC ) -> Tc (n +o n) = ( Tc n +o Tc n))
14	10, 10, 13	syl2anc 642	. . . . . . . . . 10 |- (n e. Nn -> Tc (n +o n) = ( Tc n +o Tc n))
15	14	addceq1d 4390	. . . . . . . . 9 |- (n e. Nn -> ( Tc (n +o n) +o Tc n) = (( Tc n +o Tc n) +o Tc n))
16	12, 15	eqtrd 2385	. . . . . . . 8 |- (n e. Nn -> Tc ((n +o n) +o n) = (( Tc n +o Tc n) +o Tc n))
17	16	addceq1d 4390	. . . . . . 7 |- (n e. Nn -> ( Tc ((n +o n) +o n) +o 1c) = ((( Tc n +o Tc n) +o Tc n) +o 1c))
18	17	eqeq2d 2364	. . . . . 6 |- (n e. Nn -> (((n +o n) +o n) = ( Tc ((n +o n) +o n) +o 1c) <-> ((n +o n) +o n) = ((( Tc n +o Tc n) +o Tc n) +o 1c)))
19	5, 18	mtbird 292	. . . . 5 |- (n e. Nn -> -. ((n +o n) +o n) = ( Tc ((n +o n) +o n) +o 1c))
20		id 19	. . . . . . 7 |- (A = ((n +o n) +o n) -> A = ((n +o n) +o n))
21		tceq 6159	. . . . . . . 8 |- (A = ((n +o n) +o n) -> Tc A = Tc ((n +o n) +o n))
22	21	addceq1d 4390	. . . . . . 7 |- (A = ((n +o n) +o n) -> ( Tc A +o 1c) = ( Tc ((n +o n) +o n) +o 1c))
23	20, 22	eqeq12d 2367	. . . . . 6 |- (A = ((n +o n) +o n) -> (A = ( Tc A +o 1c) <-> ((n +o n) +o n) = ( Tc ((n +o n) +o n) +o 1c)))
24	23	notbid 285	. . . . 5 |- (A = ((n +o n) +o n) -> (-. A = ( Tc A +o 1c) <-> -. ((n +o n) +o n) = ( Tc ((n +o n) +o n) +o 1c)))
25	19, 24	syl5ibrcom 213	. . . 4 |- (n e. Nn -> (A = ((n +o n) +o n) -> -. A = ( Tc A +o 1c)))
26		nncaddccl 4420	. . . . . . . . . . . 12 |- (((n +o n) e. Nn /\ n e. Nn ) -> ((n +o n) +o n) e. Nn )
27	7, 2, 26	syl2anc 642	. . . . . . . . . . 11 |- (n e. Nn -> ((n +o n) +o n) e. Nn )
28		nnnc 6147	. . . . . . . . . . 11 |- (((n +o n) +o n) e. Nn -> ((n +o n) +o n) e. NC )
29	27, 28	syl 15	. . . . . . . . . 10 |- (n e. Nn -> ((n +o n) +o n) e. NC )
30		1cnc 6140	. . . . . . . . . 10 |- 1c e. NC
31		tcdi 6165	. . . . . . . . . 10 |- ((((n +o n) +o n) e. NC /\ 1c e. NC ) -> Tc (((n +o n) +o n) +o 1c) = ( Tc ((n +o n) +o n) +o Tc 1c))
32	29, 30, 31	sylancl 643	. . . . . . . . 9 |- (n e. Nn -> Tc (((n +o n) +o n) +o 1c) = ( Tc ((n +o n) +o n) +o Tc 1c))
33		tc1c 6166	. . . . . . . . . . 11 |- Tc 1c = 1c
34	33	a1i 10	. . . . . . . . . 10 |- (n e. Nn -> Tc 1c = 1c)
35	16, 34	addceq12d 4392	. . . . . . . . 9 |- (n e. Nn -> ( Tc ((n +o n) +o n) +o Tc 1c) = ((( Tc n +o Tc n) +o Tc n) +o 1c))
36	32, 35	eqtrd 2385	. . . . . . . 8 |- (n e. Nn -> Tc (((n +o n) +o n) +o 1c) = ((( Tc n +o Tc n) +o Tc n) +o 1c))
37	36	eqeq2d 2364	. . . . . . 7 |- (n e. Nn -> (((n +o n) +o n) = Tc (((n +o n) +o n) +o 1c) <-> ((n +o n) +o n) = ((( Tc n +o Tc n) +o Tc n) +o 1c)))
38	5, 37	mtbird 292	. . . . . 6 |- (n e. Nn -> -. ((n +o n) +o n) = Tc (((n +o n) +o n) +o 1c))
39		peano2 4404	. . . . . . . . 9 |- (((n +o n) +o n) e. Nn -> (((n +o n) +o n) +o 1c) e. Nn )
40	27, 39	syl 15	. . . . . . . 8 |- (n e. Nn -> (((n +o n) +o n) +o 1c) e. Nn )
41		nntccl 6171	. . . . . . . 8 |- ((((n +o n) +o n) +o 1c) e. Nn -> Tc (((n +o n) +o n) +o 1c) e. Nn )
42	40, 41	syl 15	. . . . . . 7 |- (n e. Nn -> Tc (((n +o n) +o n) +o 1c) e. Nn )
43		suc11nnc 4559	. . . . . . 7 |- ((((n +o n) +o n) e. Nn /\ Tc (((n +o n) +o n) +o 1c) e. Nn ) -> ((((n +o n) +o n) +o 1c) = ( Tc (((n +o n) +o n) +o 1c) +o 1c) <-> ((n +o n) +o n) = Tc (((n +o n) +o n) +o 1c)))
44	27, 42, 43	syl2anc 642	. . . . . 6 |- (n e. Nn -> ((((n +o n) +o n) +o 1c) = ( Tc (((n +o n) +o n) +o 1c) +o 1c) <-> ((n +o n) +o n) = Tc (((n +o n) +o n) +o 1c)))
45	38, 44	mtbird 292	. . . . 5 |- (n e. Nn -> -. (((n +o n) +o n) +o 1c) = ( Tc (((n +o n) +o n) +o 1c) +o 1c))
46		id 19	. . . . . . 7 |- (A = (((n +o n) +o n) +o 1c) -> A = (((n +o n) +o n) +o 1c))
47		tceq 6159	. . . . . . . 8 |- (A = (((n +o n) +o n) +o 1c) -> Tc A = Tc (((n +o n) +o n) +o 1c))
48	47	addceq1d 4390	. . . . . . 7 |- (A = (((n +o n) +o n) +o 1c) -> ( Tc A +o 1c) = ( Tc (((n +o n) +o n) +o 1c) +o 1c))
49	46, 48	eqeq12d 2367	. . . . . 6 |- (A = (((n +o n) +o n) +o 1c) -> (A = ( Tc A +o 1c) <-> (((n +o n) +o n) +o 1c) = ( Tc (((n +o n) +o n) +o 1c) +o 1c)))
50	49	notbid 285	. . . . 5 |- (A = (((n +o n) +o n) +o 1c) -> (-. A = ( Tc A +o 1c) <-> -. (((n +o n) +o n) +o 1c) = ( Tc (((n +o n) +o n) +o 1c) +o 1c)))
51	45, 50	syl5ibrcom 213	. . . 4 |- (n e. Nn -> (A = (((n +o n) +o n) +o 1c) -> -. A = ( Tc A +o 1c)))
52		peano2 4404	. . . . . . . . 9 |- (n e. Nn -> (n +o 1c) e. Nn )
53		nntccl 6171	. . . . . . . . 9 |- ((n +o 1c) e. Nn -> Tc (n +o 1c) e. Nn )
54	52, 53	syl 15	. . . . . . . 8 |- (n e. Nn -> Tc (n +o 1c) e. Nn )
55		nnc3n3p2 6280	. . . . . . . 8 |- (( Tc (n +o 1c) e. Nn /\ n e. Nn ) -> -. (( Tc (n +o 1c) +o Tc (n +o 1c)) +o Tc (n +o 1c)) = (((n +o n) +o n) +o 2c))
56	54, 2, 55	syl2anc 642	. . . . . . 7 |- (n e. Nn -> -. (( Tc (n +o 1c) +o Tc (n +o 1c)) +o Tc (n +o 1c)) = (((n +o n) +o n) +o 2c))
57		2nnc 6168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2c e. Nn
58		nncaddccl 4420	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((n +o n) +o n) e. Nn /\ 2c e. Nn ) -> (((n +o n) +o n) +o 2c) e. Nn )
59	27, 57, 58	sylancl 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- (n e. Nn -> (((n +o n) +o n) +o 2c) e. Nn )
60		nnnc 6147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((n +o n) +o n) +o 2c) e. Nn -> (((n +o n) +o n) +o 2c) e. NC )
61	59, 60	syl 15	. . . . . . . . . . . 12 |- (n e. Nn -> (((n +o n) +o n) +o 2c) e. NC )
62		tcdi 6165	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((n +o n) +o n) +o 2c) e. NC /\ 1c e. NC ) -> Tc ((((n +o n) +o n) +o 2c) +o 1c) = ( Tc (((n +o n) +o n) +o 2c) +o Tc 1c))
63	61, 30, 62	sylancl 643	. . . . . . . . . . 11 |- (n e. Nn -> Tc ((((n +o n) +o n) +o 2c) +o 1c) = ( Tc (((n +o n) +o n) +o 2c) +o Tc 1c))
64	63	eqcomd 2358	. . . . . . . . . 10 |- (n e. Nn -> ( Tc (((n +o n) +o n) +o 2c) +o Tc 1c) = Tc ((((n +o n) +o n) +o 2c) +o 1c))
65	33	addceq2i 4388	. . . . . . . . . 10 |- ( Tc (((n +o n) +o n) +o 2c) +o Tc 1c) = ( Tc (((n +o n) +o n) +o 2c) +o 1c)
66		addccom 4407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((1c +o 1c) +o n) = (n +o (1c +o 1c))
67		1p1e2c 6156	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (1c +o 1c) = 2c
68	67	addceq2i 4388	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (n +o (1c +o 1c)) = (n +o 2c)
69	66, 68	eqtr2i 2374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (n +o 2c) = ((1c +o 1c) +o n)
70	69	addceq1i 4387	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((n +o 2c) +o 1c) = (((1c +o 1c) +o n) +o 1c)
71		addcass 4416	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((n +o 2c) +o 1c) = (n +o (2c +o 1c))
72		addcass 4416	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((1c +o 1c) +o n) +o 1c) = ((1c +o 1c) +o (n +o 1c))
73	70, 71, 72	3eqtr3i 2381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (n +o (2c +o 1c)) = ((1c +o 1c) +o (n +o 1c))
74	73	addceq2i 4388	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((n +o n) +o (n +o (2c +o 1c))) = ((n +o n) +o ((1c +o 1c) +o (n +o 1c)))
75		addcass 4416	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((n +o n) +o n) +o (2c +o 1c)) = ((n +o n) +o (n +o (2c +o 1c)))
76		addcass 4416	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((n +o n) +o (1c +o 1c)) +o (n +o 1c)) = ((n +o n) +o ((1c +o 1c) +o (n +o 1c)))
77	74, 75, 76	3eqtr4i 2383	. . . . . . . . . . . 12 |- (((n +o n) +o n) +o (2c +o 1c)) = (((n +o n) +o (1c +o 1c)) +o (n +o 1c))
78		addcass 4416	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((n +o n) +o n) +o 2c) +o 1c) = (((n +o n) +o n) +o (2c +o 1c))
79		addc4 4418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((n +o 1c) +o (n +o 1c)) = ((n +o n) +o (1c +o 1c))
80	79	addceq1i 4387	. . . . . . . . . . . 12 |- (((n +o 1c) +o (n +o 1c)) +o (n +o 1c)) = (((n +o n) +o (1c +o 1c)) +o (n +o 1c))
81	77, 78, 80	3eqtr4i 2383	. . . . . . . . . . 11 |- ((((n +o n) +o n) +o 2c) +o 1c) = (((n +o 1c) +o (n +o 1c)) +o (n +o 1c))
82		tceq 6159	. . . . . . . . . . 11 |- (((((n +o n) +o n) +o 2c) +o 1c) = (((n +o 1c) +o (n +o 1c)) +o (n +o 1c)) -> Tc ((((n +o n) +o n) +o 2c) +o 1c) = Tc (((n +o 1c) +o (n +o 1c)) +o (n +o 1c)))
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- Tc ((((n +o n) +o n) +o 2c) +o 1c) = Tc (((n +o 1c) +o (n +o 1c)) +o (n +o 1c))
84	64, 65, 83	3eqtr3g 2408	. . . . . . . . 9 |- (n e. Nn -> ( Tc (((n +o n) +o n) +o 2c) +o 1c) = Tc (((n +o 1c) +o (n +o 1c)) +o (n +o 1c)))
85		nnnc 6147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((n +o 1c) e. Nn -> (n +o 1c) e. NC )
86	52, 85	syl 15	. . . . . . . . . . . 12 |- (n e. Nn -> (n +o 1c) e. NC )
87		ncaddccl 6145	. . . . . . . . . . . 12 |- (((n +o 1c) e. NC /\ (n +o 1c) e. NC ) -> ((n +o 1c) +o (n +o 1c)) e. NC )
88	86, 86, 87	syl2anc 642	. . . . . . . . . . 11 |- (n e. Nn -> ((n +o 1c) +o (n +o 1c)) e. NC )
89		tcdi 6165	. . . . . . . . . . 11 |- ((((n +o 1c) +o (n +o 1c)) e. NC /\ (n +o 1c) e. NC ) -> Tc (((n +o 1c) +o (n +o 1c)) +o (n +o 1c)) = ( Tc ((n +o 1c) +o (n +o 1c)) +o Tc (n +o 1c)))
90	88, 86, 89	syl2anc 642	. . . . . . . . . 10 |- (n e. Nn -> Tc (((n +o 1c) +o (n +o 1c)) +o (n +o 1c)) = ( Tc ((n +o 1c) +o (n +o 1c)) +o Tc (n +o 1c)))
91		tcdi 6165	. . . . . . . . . . . 12 |- (((n +o 1c) e. NC /\ (n +o 1c) e. NC ) -> Tc ((n +o 1c) +o (n +o 1c)) = ( Tc (n +o 1c) +o Tc (n +o 1c)))
92	86, 86, 91	syl2anc 642	. . . . . . . . . . 11 |- (n e. Nn -> Tc ((n +o 1c) +o (n +o 1c)) = ( Tc (n +o 1c) +o Tc (n +o 1c)))
93	92	addceq1d 4390	. . . . . . . . . 10 |- (n e. Nn -> ( Tc ((n +o 1c) +o (n +o 1c)) +o Tc (n +o 1c)) = (( Tc (n +o 1c) +o Tc (n +o 1c)) +o Tc (n +o 1c)))
94	90, 93	eqtrd 2385	. . . . . . . . 9 |- (n e. Nn -> Tc (((n +o 1c) +o (n +o 1c)) +o (n +o 1c)) = (( Tc (n +o 1c) +o Tc (n +o 1c)) +o Tc (n +o 1c)))
95	84, 94	eqtrd 2385	. . . . . . . 8 |- (n e. Nn -> ( Tc (((n +o n) +o n) +o 2c) +o 1c) = (( Tc (n +o 1c) +o Tc (n +o 1c)) +o Tc (n +o 1c)))
96	95	eqeq1d 2361	. . . . . . 7 |- (n e. Nn -> (( Tc (((n +o n) +o n) +o 2c) +o 1c) = (((n +o n) +o n) +o 2c) <-> (( Tc (n +o 1c) +o Tc (n +o 1c)) +o Tc (n +o 1c)) = (((n +o n) +o n) +o 2c)))
97	56, 96	mtbird 292	. . . . . 6 |- (n e. Nn -> -. ( Tc (((n +o n) +o n) +o 2c) +o 1c) = (((n +o n) +o n) +o 2c))
98		eqcom 2355	. . . . . 6 |- (( Tc (((n +o n) +o n) +o 2c) +o 1c) = (((n +o n) +o n) +o 2c) <-> (((n +o n) +o n) +o 2c) = ( Tc (((n +o n) +o n) +o 2c) +o 1c))
99	97, 98	sylnib 295	. . . . 5 |- (n e. Nn -> -. (((n +o n) +o n) +o 2c) = ( Tc (((n +o n) +o n) +o 2c) +o 1c))
100		id 19	. . . . . . 7 |- (A = (((n +o n) +o n) +o 2c) -> A = (((n +o n) +o n) +o 2c))
101		tceq 6159	. . . . . . . 8 |- (A = (((n +o n) +o n) +o 2c) -> Tc A = Tc (((n +o n) +o n) +o 2c))
102	101	addceq1d 4390	. . . . . . 7 |- (A = (((n +o n) +o n) +o 2c) -> ( Tc A +o 1c) = ( Tc (((n +o n) +o n) +o 2c) +o 1c))
103	100, 102	eqeq12d 2367	. . . . . 6 |- (A = (((n +o n) +o n) +o 2c) -> (A = ( Tc A +o 1c) <-> (((n +o n) +o n) +o 2c) = ( Tc (((n +o n) +o n) +o 2c) +o 1c)))
104	103	notbid 285	. . . . 5 |- (A = (((n +o n) +o n) +o 2c) -> (-. A = ( Tc A +o 1c) <-> -. (((n +o n) +o n) +o 2c) = ( Tc (((n +o n) +o n) +o 2c) +o 1c)))
105	99, 104	syl5ibrcom 213	. . . 4 |- (n e. Nn -> (A = (((n +o n) +o n) +o 2c) -> -. A = ( Tc A +o 1c)))
106	25, 51, 105	3jaod 1246	. . 3 |- (n e. Nn -> ((A = ((n +o n) +o n) \/ A = (((n +o n) +o n) +o 1c) \/ A = (((n +o n) +o n) +o 2c)) -> -. A = ( Tc A +o 1c)))
107	106	rexlimiv 2733	. 2 |- (E.n e. Nn (A = ((n +o n) +o n) \/ A = (((n +o n) +o n) +o 1c) \/ A = (((n +o n) +o n) +o 2c)) -> -. A = ( Tc A +o 1c))
108	1, 107	syl 15	1 |- (A e. Nn -> -. A = ( Tc A +o 1c))

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 176   \/ w3o 933   = wceq 1642   e. wcel 1710  E.wrex 2616  1_cc1c 4135   Nn cnnc 4374   +o cplc 4376   NC cncs 6089   T_c ctc 6094  2_cc2c 6095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-csb 3138  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3972  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-f1 4793  df-fo 4794  df-f1o 4795  df-fv 4796  df-2nd 4798  df-ov 5527  df-oprab 5529  df-mpt 5653  df-mpt2 5655  df-txp 5737  df-cup 5743  df-disj 5745  df-addcfn 5747  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-image 5755  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-funs 5761  df-fns 5763  df-trans 5900  df-sym 5909  df-er 5910  df-ec 5948  df-qs 5952  df-en 6030  df-ncs 6099  df-lec 6100  df-nc 6102  df-tc 6104  df-2c 6105

This theorem is referenced by:  nchoice  6309