Theorem swapf1o 5511

Description: Swap is a bijection over the universe. (Contributed by SF, 23-Feb-2015.) (Revised by Scott Fenton, 17-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
swapf1o	|- Swap :_V-1-1-onto->_V

Proof of Theorem swapf1o

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun2 5119	. . . 4 |- (Fun Swap <-> A.xA.yA.z((x Swap y /\ x Swap z) -> y = z))
2		opeq 4619	. . . . . . . 8 |- y = <. Proj1 y, Proj2 y>.
3	2	breq2i 4647	. . . . . . 7 |- (x Swap y <-> x Swap <. Proj1 y, Proj2 y>.)
4		vex 2862	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
5	4	proj1ex 4593	. . . . . . . 8 |- Proj1 y e. _V
6	4	proj2ex 4594	. . . . . . . 8 |- Proj2 y e. _V
7	5, 6	brswap2 4860	. . . . . . 7 |- (x Swap <. Proj1 y, Proj2 y>. <-> x = <. Proj2 y, Proj1 y>.)
8	3, 7	bitri 240	. . . . . 6 |- (x Swap y <-> x = <. Proj2 y, Proj1 y>.)
9		opeq 4619	. . . . . . . 8 |- z = <. Proj1 z, Proj2 z>.
10	9	breq2i 4647	. . . . . . 7 |- (x Swap z <-> x Swap <. Proj1 z, Proj2 z>.)
11		vex 2862	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
12	11	proj1ex 4593	. . . . . . . 8 |- Proj1 z e. _V
13	11	proj2ex 4594	. . . . . . . 8 |- Proj2 z e. _V
14	12, 13	brswap2 4860	. . . . . . 7 |- (x Swap <. Proj1 z, Proj2 z>. <-> x = <. Proj2 z, Proj1 z>.)
15	10, 14	bitri 240	. . . . . 6 |- (x Swap z <-> x = <. Proj2 z, Proj1 z>.)
16		eqtr2 2371	. . . . . . 7 |- ((x = <. Proj2 y, Proj1 y>. /\ x = <. Proj2 z, Proj1 z>.) -> <. Proj2 y, Proj1 y>. = <. Proj2 z, Proj1 z>.)
17		ancom 437	. . . . . . . 8 |- (( Proj2 y = Proj2 z /\ Proj1 y = Proj1 z) <-> ( Proj1 y = Proj1 z /\ Proj2 y = Proj2 z))
18		opth 4602	. . . . . . . 8 |- (<. Proj2 y, Proj1 y>. = <. Proj2 z, Proj1 z>. <-> ( Proj2 y = Proj2 z /\ Proj1 y = Proj1 z))
19	2, 9	eqeq12i 2366	. . . . . . . . 9 |- (y = z <-> <. Proj1 y, Proj2 y>. = <. Proj1 z, Proj2 z>.)
20		opth 4602	. . . . . . . . 9 |- (<. Proj1 y, Proj2 y>. = <. Proj1 z, Proj2 z>. <-> ( Proj1 y = Proj1 z /\ Proj2 y = Proj2 z))
21	19, 20	bitri 240	. . . . . . . 8 |- (y = z <-> ( Proj1 y = Proj1 z /\ Proj2 y = Proj2 z))
22	17, 18, 21	3bitr4i 268	. . . . . . 7 |- (<. Proj2 y, Proj1 y>. = <. Proj2 z, Proj1 z>. <-> y = z)
23	16, 22	sylib 188	. . . . . 6 |- ((x = <. Proj2 y, Proj1 y>. /\ x = <. Proj2 z, Proj1 z>.) -> y = z)
24	8, 15, 23	syl2anb 465	. . . . 5 |- ((x Swap y /\ x Swap z) -> y = z)
25	24	gen2 1547	. . . 4 |- A.yA.z((x Swap y /\ x Swap z) -> y = z)
26	1, 25	mpgbir 1550	. . 3 |- Fun Swap
27		eqv 3565	. . . 4 |- (dom Swap = _V <-> A.x x e. dom Swap )
28		opeq 4619	. . . . 5 |- x = <. Proj1 x, Proj2 x>.
29		eqid 2353	. . . . . . 7 |- <. Proj1 x, Proj2 x>. = <. Proj1 x, Proj2 x>.
30		vex 2862	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
31	30	proj2ex 4594	. . . . . . . 8 |- Proj2 x e. _V
32	30	proj1ex 4593	. . . . . . . 8 |- Proj1 x e. _V
33	31, 32	brswap2 4860	. . . . . . 7 |- (<. Proj1 x, Proj2 x>. Swap <. Proj2 x, Proj1 x>. <-> <. Proj1 x, Proj2 x>. = <. Proj1 x, Proj2 x>.)
34	29, 33	mpbir 200	. . . . . 6 |- <. Proj1 x, Proj2 x>. Swap <. Proj2 x, Proj1 x>.
35		breldm 4911	. . . . . 6 |- (<. Proj1 x, Proj2 x>. Swap <. Proj2 x, Proj1 x>. -> <. Proj1 x, Proj2 x>. e. dom Swap )
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . 5 |- <. Proj1 x, Proj2 x>. e. dom Swap
37	28, 36	eqeltri 2423	. . . 4 |- x e. dom Swap
38	27, 37	mpgbir 1550	. . 3 |- dom Swap = _V
39		df-fn 4790	. . 3 |- ( Swap Fn _V <-> (Fun Swap /\ dom Swap = _V))
40	26, 38, 39	mpbir2an 886	. 2 |- Swap Fn _V
41		cnvswap 5510	. . . 4 |- `' Swap = Swap
42	41	fneq1i 5178	. . 3 |- (`' Swap Fn _V <-> Swap Fn _V)
43	40, 42	mpbir 200	. 2 |- `' Swap Fn _V
44		dff1o4 5294	. 2 |- ( Swap :_V-1-1-onto->_V <-> ( Swap Fn _V /\ `' Swap Fn _V))
45	40, 43, 44	mpbir2an 886	1 |- Swap :_V-1-1-onto->_V

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 358  A.wal 1540   = wceq 1642   e. wcel 1710  _Vcvv 2859  <.cop 4561   Proj1 cproj1 4563   Proj2 cproj2 4564   class class class wbr 4639   Swap cswap 4718  `'ccnv 4771  dom cdm 4772  Fun wfun 4775   Fn wfn 4776  -1-1-onto->wf1o 4780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-swap 4724  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794

This theorem is referenced by:  swapres  5512