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Theorem swapf1o 5511
Description: Swap is a bijection over the universe. (Contributed by SF, 23-Feb-2015.) (Revised by Scott Fenton, 17-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
swapf1o Swap :V–1-1-onto→V

Proof of Theorem swapf1o
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dffun2 5119 . . . 4 (Fun Swap xyz((x Swap y x Swap z) → y = z))
2 opeq 4619 . . . . . . . 8 y = Proj1 y, Proj2 y
32breq2i 4647 . . . . . . 7 (x Swap yx Swap Proj1 y, Proj2 y)
4 vex 2862 . . . . . . . . 9 y V
54proj1ex 4593 . . . . . . . 8 Proj1 y V
64proj2ex 4594 . . . . . . . 8 Proj2 y V
75, 6brswap2 4860 . . . . . . 7 (x Swap Proj1 y, Proj2 yx = Proj2 y, Proj1 y)
83, 7bitri 240 . . . . . 6 (x Swap yx = Proj2 y, Proj1 y)
9 opeq 4619 . . . . . . . 8 z = Proj1 z, Proj2 z
109breq2i 4647 . . . . . . 7 (x Swap zx Swap Proj1 z, Proj2 z)
11 vex 2862 . . . . . . . . 9 z V
1211proj1ex 4593 . . . . . . . 8 Proj1 z V
1311proj2ex 4594 . . . . . . . 8 Proj2 z V
1412, 13brswap2 4860 . . . . . . 7 (x Swap Proj1 z, Proj2 zx = Proj2 z, Proj1 z)
1510, 14bitri 240 . . . . . 6 (x Swap zx = Proj2 z, Proj1 z)
16 eqtr2 2371 . . . . . . 7 ((x = Proj2 y, Proj1 y x = Proj2 z, Proj1 z) → Proj2 y, Proj1 y = Proj2 z, Proj1 z)
17 ancom 437 . . . . . . . 8 (( Proj2 y = Proj2 z Proj1 y = Proj1 z) ↔ ( Proj1 y = Proj1 z Proj2 y = Proj2 z))
18 opth 4602 . . . . . . . 8 ( Proj2 y, Proj1 y = Proj2 z, Proj1 z ↔ ( Proj2 y = Proj2 z Proj1 y = Proj1 z))
192, 9eqeq12i 2366 . . . . . . . . 9 (y = z Proj1 y, Proj2 y = Proj1 z, Proj2 z)
20 opth 4602 . . . . . . . . 9 ( Proj1 y, Proj2 y = Proj1 z, Proj2 z ↔ ( Proj1 y = Proj1 z Proj2 y = Proj2 z))
2119, 20bitri 240 . . . . . . . 8 (y = z ↔ ( Proj1 y = Proj1 z Proj2 y = Proj2 z))
2217, 18, 213bitr4i 268 . . . . . . 7 ( Proj2 y, Proj1 y = Proj2 z, Proj1 zy = z)
2316, 22sylib 188 . . . . . 6 ((x = Proj2 y, Proj1 y x = Proj2 z, Proj1 z) → y = z)
248, 15, 23syl2anb 465 . . . . 5 ((x Swap y x Swap z) → y = z)
2524gen2 1547 . . . 4 yz((x Swap y x Swap z) → y = z)
261, 25mpgbir 1550 . . 3 Fun Swap
27 eqv 3565 . . . 4 (dom Swap = V ↔ x x dom Swap )
28 opeq 4619 . . . . 5 x = Proj1 x, Proj2 x
29 eqid 2353 . . . . . . 7 Proj1 x, Proj2 x = Proj1 x, Proj2 x
30 vex 2862 . . . . . . . . 9 x V
3130proj2ex 4594 . . . . . . . 8 Proj2 x V
3230proj1ex 4593 . . . . . . . 8 Proj1 x V
3331, 32brswap2 4860 . . . . . . 7 ( Proj1 x, Proj2 x Swap Proj2 x, Proj1 x Proj1 x, Proj2 x = Proj1 x, Proj2 x)
3429, 33mpbir 200 . . . . . 6 Proj1 x, Proj2 x Swap Proj2 x, Proj1 x
35 breldm 4911 . . . . . 6 ( Proj1 x, Proj2 x Swap Proj2 x, Proj1 x Proj1 x, Proj2 x dom Swap )
3634, 35ax-mp 5 . . . . 5 Proj1 x, Proj2 x dom Swap
3728, 36eqeltri 2423 . . . 4 x dom Swap
3827, 37mpgbir 1550 . . 3 dom Swap = V
39 df-fn 4790 . . 3 ( Swap Fn V ↔ (Fun Swap dom Swap = V))
4026, 38, 39mpbir2an 886 . 2 Swap Fn V
41 cnvswap 5510 . . . 4 Swap = Swap
4241fneq1i 5178 . . 3 ( Swap Fn V ↔ Swap Fn V)
4340, 42mpbir 200 . 2 Swap Fn V
44 dff1o4 5294 . 2 ( Swap :V–1-1-onto→V ↔ ( Swap Fn V Swap Fn V))
4540, 43, 44mpbir2an 886 1 Swap :V–1-1-onto→V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   wa 358  wal 1540   = wceq 1642   wcel 1710  Vcvv 2859  cop 4561   Proj1 cproj1 4563   Proj2 cproj2 4564   class class class wbr 4639   Swap cswap 4718  ccnv 4771  dom cdm 4772  Fun wfun 4775   Fn wfn 4776  1-1-ontowf1o 4780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-swap 4724  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794
This theorem is referenced by:  swapres  5512
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