Theorem tfinltfinlem1 4500

Description: Lemma for tfinltfin 4501. Prove the forward direction of the theorem. (Contributed by SF, 2-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tfinltfinlem1	⊢ ((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) → (⟪M, N⟫ ∈ <fin → ⟪ Tfin M, Tfin N⟫ ∈ <fin ))

Proof of Theorem tfinltfinlem1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfinnnul 4490	. . . . . 6 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ M ≠ ∅) → Tfin M ≠ ∅)
2	1	ex 423	. . . . 5 ⊢ (M ∈ Nn → (M ≠ ∅ → Tfin M ≠ ∅))
3	2	adantrd 454	. . . 4 ⊢ (M ∈ Nn → ((M ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ Nn N = ((M +c x) +c 1c)) → Tfin M ≠ ∅))
4	3	adantr 451	. . 3 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) → ((M ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ Nn N = ((M +c x) +c 1c)) → Tfin M ≠ ∅))
5		addcnul1 4452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1c +c ∅) = ∅
6		addccom 4406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1c +c ∅) = (∅ +c 1c)
7	5, 6	eqtr3i 2375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ = (∅ +c 1c)
8		addceq2 4384	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (y = ∅ → ( Tfin M +c y) = ( Tfin M +c ∅))
9		addcnul1 4452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ( Tfin M +c ∅) = ∅
10	8, 9	syl6eq 2401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y = ∅ → ( Tfin M +c y) = ∅)
11	10	addceq1d 4389	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y = ∅ → (( Tfin M +c y) +c 1c) = (∅ +c 1c))
12	11	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y = ∅ → (∅ = (( Tfin M +c y) +c 1c) ↔ ∅ = (∅ +c 1c)))
13	12	rspcev 2955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∅ ∈ Nn ∧ ∅ = (∅ +c 1c)) → ∃y ∈ Nn ∅ = (( Tfin M +c y) +c 1c))
14	7, 13	mpan2 652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ Nn → ∃y ∈ Nn ∅ = (( Tfin M +c y) +c 1c))
15		eleq1 2413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (N = ∅ → (N ∈ Nn ↔ ∅ ∈ Nn ))
16		tfineq 4488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (N = ∅ → Tfin N = Tfin ∅)
17		tfinnul 4491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Tfin ∅ = ∅
18	16, 17	syl6eq 2401	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (N = ∅ → Tfin N = ∅)
19	18	eqeq1d 2361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (N = ∅ → ( Tfin N = (( Tfin M +c y) +c 1c) ↔ ∅ = (( Tfin M +c y) +c 1c)))
20	19	rexbidv 2635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (N = ∅ → (∃y ∈ Nn Tfin N = (( Tfin M +c y) +c 1c) ↔ ∃y ∈ Nn ∅ = (( Tfin M +c y) +c 1c)))
21	15, 20	imbi12d 311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (N = ∅ → ((N ∈ Nn → ∃y ∈ Nn Tfin N = (( Tfin M +c y) +c 1c)) ↔ (∅ ∈ Nn → ∃y ∈ Nn ∅ = (( Tfin M +c y) +c 1c))))
22	14, 21	mpbiri 224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (N = ∅ → (N ∈ Nn → ∃y ∈ Nn Tfin N = (( Tfin M +c y) +c 1c)))
23	22	adantld 453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (N = ∅ → ((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) → ∃y ∈ Nn Tfin N = (( Tfin M +c y) +c 1c)))
24	23	adantrd 454	. . . . . . . . 9 ⊢ (N = ∅ → (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ (M ≠ ∅ ∧ x ∈ Nn )) → ∃y ∈ Nn Tfin N = (( Tfin M +c y) +c 1c)))
25	24	a1dd 42	. . . . . . . 8 ⊢ (N = ∅ → (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ (M ≠ ∅ ∧ x ∈ Nn )) → (N = ((M +c x) +c 1c) → ∃y ∈ Nn Tfin N = (( Tfin M +c y) +c 1c))))
26		simp2r 982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ (M ≠ ∅ ∧ x ∈ Nn ) ∧ (N ≠ ∅ ∧ N = ((M +c x) +c 1c))) → x ∈ Nn )
27		simp3r 984	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ (M ≠ ∅ ∧ x ∈ Nn ) ∧ (N ≠ ∅ ∧ N = ((M +c x) +c 1c))) → N = ((M +c x) +c 1c))
28		simp3l 983	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ (M ≠ ∅ ∧ x ∈ Nn ) ∧ (N ≠ ∅ ∧ N = ((M +c x) +c 1c))) → N ≠ ∅)
29	27, 28	eqnetrrd 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ (M ≠ ∅ ∧ x ∈ Nn ) ∧ (N ≠ ∅ ∧ N = ((M +c x) +c 1c))) → ((M +c x) +c 1c) ≠ ∅)
30		addcnnul 4453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((M +c x) +c 1c) ≠ ∅ → ((M +c x) ≠ ∅ ∧ 1c ≠ ∅))
31	29, 30	syl 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ (M ≠ ∅ ∧ x ∈ Nn ) ∧ (N ≠ ∅ ∧ N = ((M +c x) +c 1c))) → ((M +c x) ≠ ∅ ∧ 1c ≠ ∅))
32	31	simpld 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ (M ≠ ∅ ∧ x ∈ Nn ) ∧ (N ≠ ∅ ∧ N = ((M +c x) +c 1c))) → (M +c x) ≠ ∅)
33		addcnnul 4453	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((M +c x) ≠ ∅ → (M ≠ ∅ ∧ x ≠ ∅))
34	32, 33	syl 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ (M ≠ ∅ ∧ x ∈ Nn ) ∧ (N ≠ ∅ ∧ N = ((M +c x) +c 1c))) → (M ≠ ∅ ∧ x ≠ ∅))
35	34	simprd 449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ (M ≠ ∅ ∧ x ∈ Nn ) ∧ (N ≠ ∅ ∧ N = ((M +c x) +c 1c))) → x ≠ ∅)
36		tfinprop 4489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((x ∈ Nn ∧ x ≠ ∅) → ( Tfin x ∈ Nn ∧ ∃y ∈ x ℘1y ∈ Tfin x))
37	36	simpld 445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((x ∈ Nn ∧ x ≠ ∅) → Tfin x ∈ Nn )
38	26, 35, 37	syl2anc 642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ (M ≠ ∅ ∧ x ∈ Nn ) ∧ (N ≠ ∅ ∧ N = ((M +c x) +c 1c))) → Tfin x ∈ Nn )
39		tfineq 4488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (N = ((M +c x) +c 1c) → Tfin N = Tfin ((M +c x) +c 1c))
40	39	adantl 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((N ≠ ∅ ∧ N = ((M +c x) +c 1c)) → Tfin N = Tfin ((M +c x) +c 1c))
41	40	3ad2ant3 978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ (M ≠ ∅ ∧ x ∈ Nn ) ∧ (N ≠ ∅ ∧ N = ((M +c x) +c 1c))) → Tfin N = Tfin ((M +c x) +c 1c))
42		simp1l 979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ (M ≠ ∅ ∧ x ∈ Nn ) ∧ (N ≠ ∅ ∧ N = ((M +c x) +c 1c))) → M ∈ Nn )
43		nncaddccl 4419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ x ∈ Nn ) → (M +c x) ∈ Nn )
44	42, 26, 43	syl2anc 642	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ (M ≠ ∅ ∧ x ∈ Nn ) ∧ (N ≠ ∅ ∧ N = ((M +c x) +c 1c))) → (M +c x) ∈ Nn )
45		tfinsuc 4498	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((M +c x) ∈ Nn ∧ ((M +c x) +c 1c) ≠ ∅) → Tfin ((M +c x) +c 1c) = ( Tfin (M +c x) +c 1c))
46	44, 29, 45	syl2anc 642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ (M ≠ ∅ ∧ x ∈ Nn ) ∧ (N ≠ ∅ ∧ N = ((M +c x) +c 1c))) → Tfin ((M +c x) +c 1c) = ( Tfin (M +c x) +c 1c))
47	41, 46	eqtrd 2385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ (M ≠ ∅ ∧ x ∈ Nn ) ∧ (N ≠ ∅ ∧ N = ((M +c x) +c 1c))) → Tfin N = ( Tfin (M +c x) +c 1c))
48		tfindi 4496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ x ∈ Nn ∧ (M +c x) ≠ ∅) → Tfin (M +c x) = ( Tfin M +c Tfin x))
49	42, 26, 32, 48	syl3anc 1182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ (M ≠ ∅ ∧ x ∈ Nn ) ∧ (N ≠ ∅ ∧ N = ((M +c x) +c 1c))) → Tfin (M +c x) = ( Tfin M +c Tfin x))
50	49	addceq1d 4389	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ (M ≠ ∅ ∧ x ∈ Nn ) ∧ (N ≠ ∅ ∧ N = ((M +c x) +c 1c))) → ( Tfin (M +c x) +c 1c) = (( Tfin M +c Tfin x) +c 1c))
51	47, 50	eqtrd 2385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ (M ≠ ∅ ∧ x ∈ Nn ) ∧ (N ≠ ∅ ∧ N = ((M +c x) +c 1c))) → Tfin N = (( Tfin M +c Tfin x) +c 1c))
52		addceq2 4384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y = Tfin x → ( Tfin M +c y) = ( Tfin M +c Tfin x))
53	52	addceq1d 4389	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y = Tfin x → (( Tfin M +c y) +c 1c) = (( Tfin M +c Tfin x) +c 1c))
54	53	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y = Tfin x → ( Tfin N = (( Tfin M +c y) +c 1c) ↔ Tfin N = (( Tfin M +c Tfin x) +c 1c)))
55	54	rspcev 2955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( Tfin x ∈ Nn ∧ Tfin N = (( Tfin M +c Tfin x) +c 1c)) → ∃y ∈ Nn Tfin N = (( Tfin M +c y) +c 1c))
56	38, 51, 55	syl2anc 642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ (M ≠ ∅ ∧ x ∈ Nn ) ∧ (N ≠ ∅ ∧ N = ((M +c x) +c 1c))) → ∃y ∈ Nn Tfin N = (( Tfin M +c y) +c 1c))
57	56	3expa 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ (M ≠ ∅ ∧ x ∈ Nn )) ∧ (N ≠ ∅ ∧ N = ((M +c x) +c 1c))) → ∃y ∈ Nn Tfin N = (( Tfin M +c y) +c 1c))
58	57	exp32 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ (M ≠ ∅ ∧ x ∈ Nn )) → (N ≠ ∅ → (N = ((M +c x) +c 1c) → ∃y ∈ Nn Tfin N = (( Tfin M +c y) +c 1c))))
59	58	com12 27	. . . . . . . 8 ⊢ (N ≠ ∅ → (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ (M ≠ ∅ ∧ x ∈ Nn )) → (N = ((M +c x) +c 1c) → ∃y ∈ Nn Tfin N = (( Tfin M +c y) +c 1c))))
60	25, 59	pm2.61ine 2592	. . . . . . 7 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ (M ≠ ∅ ∧ x ∈ Nn )) → (N = ((M +c x) +c 1c) → ∃y ∈ Nn Tfin N = (( Tfin M +c y) +c 1c)))
61	60	expr 598	. . . . . 6 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ M ≠ ∅) → (x ∈ Nn → (N = ((M +c x) +c 1c) → ∃y ∈ Nn Tfin N = (( Tfin M +c y) +c 1c))))
62	61	rexlimdv 2737	. . . . 5 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) ∧ M ≠ ∅) → (∃x ∈ Nn N = ((M +c x) +c 1c) → ∃y ∈ Nn Tfin N = (( Tfin M +c y) +c 1c)))
63	62	ex 423	. . . 4 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) → (M ≠ ∅ → (∃x ∈ Nn N = ((M +c x) +c 1c) → ∃y ∈ Nn Tfin N = (( Tfin M +c y) +c 1c))))
64	63	imp3a 420	. . 3 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) → ((M ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ Nn N = ((M +c x) +c 1c)) → ∃y ∈ Nn Tfin N = (( Tfin M +c y) +c 1c)))
65	4, 64	jcad 519	. 2 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) → ((M ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ Nn N = ((M +c x) +c 1c)) → ( Tfin M ≠ ∅ ∧ ∃y ∈ Nn Tfin N = (( Tfin M +c y) +c 1c))))
66		opkltfing 4449	. 2 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) → (⟪M, N⟫ ∈ <fin ↔ (M ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ Nn N = ((M +c x) +c 1c))))
67		tfinex 4485	. . . 4 ⊢ Tfin M ∈ V
68		tfinex 4485	. . . 4 ⊢ Tfin N ∈ V
69		opkltfing 4449	. . . 4 ⊢ (( Tfin M ∈ V ∧ Tfin N ∈ V) → (⟪ Tfin M, Tfin N⟫ ∈ <fin ↔ ( Tfin M ≠ ∅ ∧ ∃y ∈ Nn Tfin N = (( Tfin M +c y) +c 1c))))
70	67, 68, 69	mp2an 653	. . 3 ⊢ (⟪ Tfin M, Tfin N⟫ ∈ <fin ↔ ( Tfin M ≠ ∅ ∧ ∃y ∈ Nn Tfin N = (( Tfin M +c y) +c 1c)))
71	70	a1i 10	. 2 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) → (⟪ Tfin M, Tfin N⟫ ∈ <fin ↔ ( Tfin M ≠ ∅ ∧ ∃y ∈ Nn Tfin N = (( Tfin M +c y) +c 1c))))
72	65, 66, 71	3imtr4d 259	1 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) → (⟪M, N⟫ ∈ <fin → ⟪ Tfin M, Tfin N⟫ ∈ <fin ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  ∃wrex 2615  Vcvv 2859  ∅c0 3550  ⟪copk 4057  1_cc1c 4134  ℘₁cpw1 4135   Nn cnnc 4373   +_c cplc 4375   <_fin cltfin 4433   T_fin ctfin 4435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-ltfin 4441  df-tfin 4443

This theorem is referenced by:  tfinltfin  4501