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Theorem climcvg1nlem 10324
Description: Lemma for climcvg1n 10325. We construct sequences of the real and imaginary parts of each term of  F, show those converge, and use that to show that  F converges. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climcvg1n.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
climcvg1n.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
climcvg1n.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  <  ( C  /  n ) )
climcvg1nlem.g  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )
climcvg1nlem.h  |-  H  =  ( x  e.  NN  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) )
climcvg1nlem.j  |-  J  =  ( x  e.  NN  |->  ( _i  x.  ( H `  x )
) )
Assertion
Ref Expression
climcvg1nlem  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable groups:    C, k, n   
k, F, x    k, G, n    k, H, n, x    k, J    ph, k, n, x
Allowed substitution hints:    C( x)    F( n)    G( x)    J( x, n)

Proof of Theorem climcvg1nlem
StepHypRef Expression
1 nnuz 8735 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 8459 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
3 climcvg1n.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
43ffvelrnda 5334 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( F `
 x )  e.  CC )
54recld 9963 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( Re
`  ( F `  x ) )  e.  RR )
6 climcvg1nlem.g . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )
75, 6fmptd 5354 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : NN --> RR )
8 climcvg1n.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
9 climcvg1n.cau . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  <  ( C  /  n ) )
10 eluznn 8768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
k  e.  NN )
1110adantll 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  NN )
123ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  F : NN
--> CC )
1312, 11ffvelrnd 5335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1413recld 9963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( Re `  ( F `  k
) )  e.  RR )
15 fveq2 5209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
1615fveq2d 5213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  k  ->  (
Re `  ( F `  x ) )  =  ( Re `  ( F `  k )
) )
1716, 6fvmptg 5280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( Re `  ( F `
 k ) )  e.  RR )  -> 
( G `  k
)  =  ( Re
`  ( F `  k ) ) )
1811, 14, 17syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  k )  =  ( Re `  ( F `
 k ) ) )
19 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  NN )
2012, 19ffvelrnd 5335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  n )  e.  CC )
2120recld 9963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( Re `  ( F `  n
) )  e.  RR )
22 fveq2 5209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  n  ->  ( F `  x )  =  ( F `  n ) )
2322fveq2d 5213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  n  ->  (
Re `  ( F `  x ) )  =  ( Re `  ( F `  n )
) )
2423, 6fvmptg 5280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( Re `  ( F `
 n ) )  e.  RR )  -> 
( G `  n
)  =  ( Re
`  ( F `  n ) ) )
2519, 21, 24syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  n )  =  ( Re `  ( F `
 n ) ) )
2618, 25oveq12d 5561 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  k )  -  ( G `  n ) )  =  ( ( Re `  ( F `  k ) )  -  ( Re
`  ( F `  n ) ) ) )
2713, 20resubd 9986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( Re `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  =  ( ( Re `  ( F `  k )
)  -  ( Re
`  ( F `  n ) ) ) )
2826, 27eqtr4d 2117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  k )  -  ( G `  n ) )  =  ( Re `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 n ) ) ) )
2928fveq2d 5213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( ( G `  k )  -  ( G `  n )
) )  =  ( abs `  ( Re
`  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) ) ) )
3013, 20subcld 7486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  k )  -  ( F `  n ) )  e.  CC )
31 absrele 10107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
)  -  ( F `
 n ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Re `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 n ) ) ) )
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( Re `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 n ) ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) ) )
3329, 32eqbrtrd 3813 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( ( G `  k )  -  ( G `  n )
) )  <_  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) ) )
3430recld 9963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( Re `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  e.  RR )
3534recnd 7209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( Re `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  e.  CC )
3628, 35eqeltrd 2156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  k )  -  ( G `  n ) )  e.  CC )
3736abscld 10205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( ( G `  k )  -  ( G `  n )
) )  e.  RR )
3830abscld 10205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  e.  RR )
398ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  C  e.  RR+ )
4019nnrpd 8853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  RR+ )
4139, 40rpdivcld 8872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( C  /  n )  e.  RR+ )
4241rpred 8854 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( C  /  n )  e.  RR )
43 lelttr 7266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  (
( G `  k
)  -  ( G `
 n ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n ) ) )  e.  RR  /\  ( C  /  n )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  ( G `
 n ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) )  <  ( C  /  n ) )  ->  ( abs `  (
( G `  k
)  -  ( G `
 n ) ) )  <  ( C  /  n ) ) )
4437, 38, 42, 43syl3anc 1170 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( abs `  (
( G `  k
)  -  ( G `
 n ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) )  <  ( C  /  n ) )  ->  ( abs `  (
( G `  k
)  -  ( G `
 n ) ) )  <  ( C  /  n ) ) )
4533, 44mpand 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) )  <  ( C  /  n )  -> 
( abs `  (
( G `  k
)  -  ( G `
 n ) ) )  <  ( C  /  n ) ) )
4645ralimdva 2430 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  <  ( C  /  n )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  ( G `  n ) ) )  <  ( C  /  n ) ) )
4746ralimdva 2430 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 n ) ) )  <  ( C  /  n )  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  ( G `  n )
) )  <  ( C  /  n ) ) )
489, 47mpd 13 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  ( G `  n )
) )  <  ( C  /  n ) )
497, 8, 48climrecvg1n 10323 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  ~~>  )
50 climdm 10272 . . . 4  |-  ( G  e.  dom  ~~>  <->  G  ~~>  (  ~~>  `  G
) )
5149, 50sylib 120 . . 3  |-  ( ph  ->  G  ~~>  (  ~~>  `  G
) )
52 nnex 8112 . . . 4  |-  NN  e.  _V
53 fex 5420 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> CC  /\  NN  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
543, 52, 53sylancl 404 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
554imcld 9964 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( Im
`  ( F `  x ) )  e.  RR )
56 climcvg1nlem.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( x  e.  NN  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) )
5755, 56fmptd 5354 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H : NN --> RR )
5813imcld 9964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( Im `  ( F `  k
) )  e.  RR )
5915fveq2d 5213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  (
Im `  ( F `  x ) )  =  ( Im `  ( F `  k )
) )
6059, 56fvmptg 5280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( Im `  ( F `
 k ) )  e.  RR )  -> 
( H `  k
)  =  ( Im
`  ( F `  k ) ) )
6111, 58, 60syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( H `  k )  =  ( Im `  ( F `
 k ) ) )
6220imcld 9964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( Im `  ( F `  n
) )  e.  RR )
6322fveq2d 5213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  n  ->  (
Im `  ( F `  x ) )  =  ( Im `  ( F `  n )
) )
6463, 56fvmptg 5280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( Im `  ( F `
 n ) )  e.  RR )  -> 
( H `  n
)  =  ( Im
`  ( F `  n ) ) )
6519, 62, 64syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( H `  n )  =  ( Im `  ( F `
 n ) ) )
6661, 65oveq12d 5561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( H `  k )  -  ( H `  n ) )  =  ( ( Im `  ( F `  k ) )  -  ( Im
`  ( F `  n ) ) ) )
6713, 20imsubd 9987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( Im `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  =  ( ( Im `  ( F `  k )
)  -  ( Im
`  ( F `  n ) ) ) )
6866, 67eqtr4d 2117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( H `  k )  -  ( H `  n ) )  =  ( Im `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 n ) ) ) )
6968fveq2d 5213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( ( H `  k )  -  ( H `  n )
) )  =  ( abs `  ( Im
`  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) ) ) )
70 absimle 10108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  k
)  -  ( F `
 n ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 n ) ) ) )
7130, 70syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( Im `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 n ) ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) ) )
7269, 71eqbrtrd 3813 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( ( H `  k )  -  ( H `  n )
) )  <_  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) ) )
7361, 58eqeltrd 2156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( H `  k )  e.  RR )
7465, 62eqeltrd 2156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( H `  n )  e.  RR )
7573, 74resubcld 7552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( H `  k )  -  ( H `  n ) )  e.  RR )
7675recnd 7209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( H `  k )  -  ( H `  n ) )  e.  CC )
7776abscld 10205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( ( H `  k )  -  ( H `  n )
) )  e.  RR )
78 lelttr 7266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  (
( H `  k
)  -  ( H `
 n ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n ) ) )  e.  RR  /\  ( C  /  n )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( H `  k
)  -  ( H `
 n ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) )  <  ( C  /  n ) )  ->  ( abs `  (
( H `  k
)  -  ( H `
 n ) ) )  <  ( C  /  n ) ) )
7977, 38, 42, 78syl3anc 1170 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( abs `  (
( H `  k
)  -  ( H `
 n ) ) )  <_  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) )  <  ( C  /  n ) )  ->  ( abs `  (
( H `  k
)  -  ( H `
 n ) ) )  <  ( C  /  n ) ) )
8072, 79mpand 420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  n ) ) )  <  ( C  /  n )  -> 
( abs `  (
( H `  k
)  -  ( H `
 n ) ) )  <  ( C  /  n ) ) )
8180ralimdva 2430 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  <  ( C  /  n )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( abs `  ( ( H `  k )  -  ( H `  n ) ) )  <  ( C  /  n ) ) )
8281ralimdva 2430 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 n ) ) )  <  ( C  /  n )  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( H `  k )  -  ( H `  n )
) )  <  ( C  /  n ) ) )
839, 82mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( H `  k )  -  ( H `  n )
) )  <  ( C  /  n ) )
8457, 8, 83climrecvg1n 10323 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  e.  dom  ~~>  )
85 climdm 10272 . . . . 5  |-  ( H  e.  dom  ~~>  <->  H  ~~>  (  ~~>  `  H
) )
8684, 85sylib 120 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  ~~>  (  ~~>  `  H
) )
87 ax-icn 7133 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
8887a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  _i  e.  CC )
89 climcvg1nlem.j . . . . . 6  |-  J  =  ( x  e.  NN  |->  ( _i  x.  ( H `  x )
) )
9052mptex 5419 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  |->  ( _i  x.  ( H `  x ) ) )  e.  _V
9189, 90eqeltri 2152 . . . . 5  |-  J  e. 
_V
9291a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  _V )
93 ax-resscn 7130 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
9493a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
9557, 94fssd 5086 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : NN --> CC )
9695ffvelrnda 5334 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `
 k )  e.  CC )
9789a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  J  =  ( x  e.  NN  |->  ( _i  x.  ( H `  x )
) ) )
98 fveq2 5209 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  ( H `  x )  =  ( H `  k ) )
9998oveq2d 5559 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
_i  x.  ( H `  x ) )  =  ( _i  x.  ( H `  k )
) )
10099adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  =  k )  -> 
( _i  x.  ( H `  x )
)  =  ( _i  x.  ( H `  k ) ) )
101 simpr 108 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
10287a1i 9 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  _i  e.  CC )
103102, 96mulcld 7201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( _i  x.  ( H `  k ) )  e.  CC )
10497, 100, 101, 103fvmptd 5285 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `
 k )  =  ( _i  x.  ( H `  k )
) )
1051, 2, 86, 88, 92, 96, 104climmulc2 10307 . . 3  |-  ( ph  ->  J  ~~>  ( _i  x.  ( 
~~>  `  H ) ) )
1067ffvelrnda 5334 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  e.  RR )
107106recnd 7209 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  e.  CC )
108104, 103eqeltrd 2156 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `
 k )  e.  CC )
1093ffvelrnda 5334 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
110109replimd 9966 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( ( Re `  ( F `  k ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  ( F `  k ) ) ) ) )
111109recld 9963 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( Re
`  ( F `  k ) )  e.  RR )
112101, 111, 17syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  =  ( Re `  ( F `  k )
) )
113109imcld 9964 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( Im
`  ( F `  k ) )  e.  RR )
114101, 113, 60syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `
 k )  =  ( Im `  ( F `  k )
) )
115114oveq2d 5559 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( _i  x.  ( H `  k ) )  =  ( _i  x.  (
Im `  ( F `  k ) ) ) )
116104, 115eqtrd 2114 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `
 k )  =  ( _i  x.  (
Im `  ( F `  k ) ) ) )
117112, 116oveq12d 5561 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( G `  k )  +  ( J `  k ) )  =  ( ( Re `  ( F `  k ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  ( F `  k ) ) ) ) )
118110, 117eqtr4d 2117 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( ( G `  k )  +  ( J `  k ) ) )
1191, 2, 51, 54, 105, 107, 108, 118climadd 10302 . 2  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( (  ~~>  `  G
)  +  ( _i  x.  (  ~~>  `  H
) ) ) )
120 climrel 10257 . . 3  |-  Rel  ~~>
121120releldmi 4601 . 2  |-  ( F  ~~>  ( (  ~~>  `  G
)  +  ( _i  x.  (  ~~>  `  H
) ) )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
122119, 121syl 14 1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2349   _Vcvv 2602    C_ wss 2974   class class class wbr 3793    |-> cmpt 3847   dom cdm 4371   -->wf 4928   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   CCcc 7041   RRcr 7042   1c1 7044   _ici 7045    + caddc 7046    x. cmul 7048    < clt 7215    <_ cle 7216    - cmin 7346    / cdiv 7827   NNcn 8106   ZZ>=cuz 8700   RR+crp 8815   Recre 9865   Imcim 9866   abscabs 10021    ~~> cli 10255
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156  ax-arch 7157  ax-caucvg 7158
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-if 3360  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-2 8165  df-3 8166  df-4 8167  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-rp 8816  df-iseq 9522  df-iexp 9573  df-cj 9867  df-re 9868  df-im 9869  df-rsqrt 10022  df-abs 10023  df-clim 10256
This theorem is referenced by:  climcvg1n  10325
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