Theorem ennnfonelemkh 11925

Description: Lemma for ennnfone 11938. Because we add zero or one entries for each new index, the length of each sequence is no greater than its index. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemkh.p	|- ( ph -> P e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemkh	|- ( ph -> dom ( H ` P ) C_ ( `' N ` P ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y   j, G   j, H, x, y   j, J   j, N, x, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   P( x, y, j, k, n)   F( j, k, n)   G( x, y, k, n)   H( k, n)   J( x, y, k, n)   N( k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemkh

Dummy variables m w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemkh.p	. 2 |- ( ph -> P e. NN0 )
2		fveq2 5421	. . . . . . 7 |- ( w = 0 -> ( H ` w ) = ( H ` 0 ) )
3	2	dmeqd 4741	. . . . . 6 |- ( w = 0 -> dom ( H ` w ) = dom ( H ` 0 ) )
4		fveq2 5421	. . . . . 6 |- ( w = 0 -> ( `' N ` w ) = ( `' N ` 0 ) )
5	3, 4	sseq12d 3128	. . . . 5 |- ( w = 0 -> ( dom ( H ` w ) C_ ( `' N ` w ) <-> dom ( H ` 0 ) C_ ( `' N ` 0 ) ) )
6	5	imbi2d 229	. . . 4 |- ( w = 0 -> ( ( ph -> dom ( H ` w ) C_ ( `' N ` w ) ) <-> ( ph -> dom ( H ` 0 ) C_ ( `' N ` 0 ) ) ) )
7		fveq2 5421	. . . . . . 7 |- ( w = m -> ( H ` w ) = ( H ` m ) )
8	7	dmeqd 4741	. . . . . 6 |- ( w = m -> dom ( H ` w ) = dom ( H ` m ) )
9		fveq2 5421	. . . . . 6 |- ( w = m -> ( `' N ` w ) = ( `' N ` m ) )
10	8, 9	sseq12d 3128	. . . . 5 |- ( w = m -> ( dom ( H ` w ) C_ ( `' N ` w ) <-> dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) )
11	10	imbi2d 229	. . . 4 |- ( w = m -> ( ( ph -> dom ( H ` w ) C_ ( `' N ` w ) ) <-> ( ph -> dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) ) )
12		fveq2 5421	. . . . . . 7 |- ( w = ( m + 1 ) -> ( H ` w ) = ( H ` ( m + 1 ) ) )
13	12	dmeqd 4741	. . . . . 6 |- ( w = ( m + 1 ) -> dom ( H ` w ) = dom ( H ` ( m + 1 ) ) )
14		fveq2 5421	. . . . . 6 |- ( w = ( m + 1 ) -> ( `' N ` w ) = ( `' N ` ( m + 1 ) ) )
15	13, 14	sseq12d 3128	. . . . 5 |- ( w = ( m + 1 ) -> ( dom ( H ` w ) C_ ( `' N ` w ) <-> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) )
16	15	imbi2d 229	. . . 4 |- ( w = ( m + 1 ) -> ( ( ph -> dom ( H ` w ) C_ ( `' N ` w ) ) <-> ( ph -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) ) )
17		fveq2 5421	. . . . . . 7 |- ( w = P -> ( H ` w ) = ( H ` P ) )
18	17	dmeqd 4741	. . . . . 6 |- ( w = P -> dom ( H ` w ) = dom ( H ` P ) )
19		fveq2 5421	. . . . . 6 |- ( w = P -> ( `' N ` w ) = ( `' N ` P ) )
20	18, 19	sseq12d 3128	. . . . 5 |- ( w = P -> ( dom ( H ` w ) C_ ( `' N ` w ) <-> dom ( H ` P ) C_ ( `' N ` P ) ) )
21	20	imbi2d 229	. . . 4 |- ( w = P -> ( ( ph -> dom ( H ` w ) C_ ( `' N ` w ) ) <-> ( ph -> dom ( H ` P ) C_ ( `' N ` P ) ) ) )
22		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
23		ennnfonelemh.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
24		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
25		ennnfonelemh.g	. . . . . . . . 9 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
26		ennnfonelemh.n	. . . . . . . . 9 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
27		ennnfonelemh.j	. . . . . . . . 9 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
28		ennnfonelemh.h	. . . . . . . . 9 |- H = seq 0 ( G , J )
29	22, 23, 24, 25, 26, 27, 28	ennnfonelem0 11918	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( H ` 0 ) = (/) )
30	29	dmeqd 4741	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( H ` 0 ) = dom (/) )
31		dm0 4753	. . . . . . 7 |- dom (/) = (/)
32	30, 31	syl6eq 2188	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( H ` 0 ) = (/) )
33		0ss 3401	. . . . . 6 |- (/) C_ ( `' N ` 0 )
34	32, 33	eqsstrdi 3149	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( H ` 0 ) C_ ( `' N ` 0 ) )
35	34	a1i 9	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ -> ( ph -> dom ( H ` 0 ) C_ ( `' N ` 0 ) ) )
36	26	frechashgf1o 10201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- N : om -1-1-onto-> NN0
37		f1of 5367	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> N : om --> NN0 )
38	36, 37	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> N : om --> NN0 )
39	22	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
40	23	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> F : om -onto-> A )
41	24	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
42		simplr 519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> m e. ( ZZ>= ` 0 ) )
43		nn0uz 9360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
44	42, 43	eleqtrrdi 2233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> m e. NN0 )
45		peano2nn0 9017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN0 -> ( m + 1 ) e. NN0 )
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( m + 1 ) e. NN0 )
47	39, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 46	ennnfonelemom 11921	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) e. om )
48	47	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) e. om )
49	38, 48	ffvelrnd 5556	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) e. NN0 )
50	49	nn0red 9031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) e. RR )
51	44	nn0red 9031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> m e. RR )
52	51	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> m e. RR )
53		peano2re 7898	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. RR -> ( m + 1 ) e. RR )
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( m + 1 ) e. RR )
55	39, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 44	ennnfonelemp1 11919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( H ` ( m + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) , ( H ` m ) , ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) ) )
56	55	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( H ` ( m + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) , ( H ` m ) , ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) ) )
57		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) )
58	57	iftrued 3481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> if ( ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) , ( H ` m ) , ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) ) = ( H ` m ) )
59	56, 58	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( H ` ( m + 1 ) ) = ( H ` m ) )
60	59	dmeqd 4741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) = dom ( H ` m ) )
61	60	fveq2d 5425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) = ( N ` dom ( H ` m ) ) )
62		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) )
63		0zd 9066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> 0 e. ZZ )
64	39, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 44	ennnfonelemom 11921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> dom ( H ` m ) e. om )
65		f1ocnv 5380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
66	36, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- `' N : NN0 -1-1-onto-> om
67		f1of 5367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
68	66, 67	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. NN0 -> `' N : NN0 --> om )
69		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. NN0 -> m e. NN0 )
70	68, 69	ffvelrnd 5556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN0 -> ( `' N ` m ) e. om )
71	44, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( `' N ` m ) e. om )
72	63, 26, 64, 71	frec2uzled 10202	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) <-> ( N ` dom ( H ` m ) ) <_ ( N ` ( `' N ` m ) ) ) )
73	62, 72	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( N ` dom ( H ` m ) ) <_ ( N ` ( `' N ` m ) ) )
74		f1ocnvfv2 5679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ m e. NN0 ) -> ( N ` ( `' N ` m ) ) = m )
75	36, 44, 74	sylancr 410	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( N ` ( `' N ` m ) ) = m )
76	73, 75	breqtrd 3954	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( N ` dom ( H ` m ) ) <_ m )
77	76	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` m ) ) <_ m )
78	61, 77	eqbrtrd 3950	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ m )
79	52	lep1d 8689	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> m <_ ( m + 1 ) )
80	50, 52, 54, 78, 79	letrd 7886	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( m + 1 ) )
81		f1ocnvfv2 5679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ ( m + 1 ) e. NN0 ) -> ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) = ( m + 1 ) )
82	36, 46, 81	sylancr 410	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) = ( m + 1 ) )
83	82	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) = ( m + 1 ) )
84	80, 83	breqtrrd 3956	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) )
85	66, 67	mp1i 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> `' N : NN0 --> om )
86	85, 46	ffvelrnd 5556	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( `' N ` ( m + 1 ) ) e. om )
87	63, 26, 47, 86	frec2uzled 10202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) <-> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) ) )
88	87	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) <-> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) ) )
89	84, 88	mpbird 166	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) )
90	55	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( H ` ( m + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) , ( H ` m ) , ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) ) )
91		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) )
92	91	iffalsed 3484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> if ( ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) , ( H ` m ) , ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) ) = ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) )
93	90, 92	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( H ` ( m + 1 ) ) = ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) )
94	93	dmeqd 4741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) = dom ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) )
95		dmun 4746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) = ( dom ( H ` m ) u. dom { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } )
96	94, 95	syl6eq 2188	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) = ( dom ( H ` m ) u. dom { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) )
97		fof 5345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
98	40, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> F : om --> A )
99	98, 71	ffvelrnd 5556	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( F ` ( `' N ` m ) ) e. A )
100	99	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( F ` ( `' N ` m ) ) e. A )
101		dmsnopg 5010	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` ( `' N ` m ) ) e. A -> dom { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } = { dom ( H ` m ) } )
102	100, 101	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } = { dom ( H ` m ) } )
103	102	uneq2d 3230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( dom ( H ` m ) u. dom { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) = ( dom ( H ` m ) u. { dom ( H ` m ) } ) )
104	96, 103	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) = ( dom ( H ` m ) u. { dom ( H ` m ) } ) )
105		df-suc 4293	. . . . . . . . . . . . . 14 |- suc dom ( H ` m ) = ( dom ( H ` m ) u. { dom ( H ` m ) } )
106	104, 105	syl6eqr 2190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) = suc dom ( H ` m ) )
107		simplr 519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) )
108	71	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( `' N ` m ) e. om )
109		nnsucsssuc 6388	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( dom ( H ` m ) e. om /\ ( `' N ` m ) e. om ) -> ( dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) <-> suc dom ( H ` m ) C_ suc ( `' N ` m ) ) )
110	64, 108, 109	syl2an2r 584	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) <-> suc dom ( H ` m ) C_ suc ( `' N ` m ) ) )
111	107, 110	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> suc dom ( H ` m ) C_ suc ( `' N ` m ) )
112	106, 111	eqsstrd 3133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ suc ( `' N ` m ) )
113		0zd 9066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> 0 e. ZZ )
114	47	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) e. om )
115		peano2 4509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( `' N ` m ) e. om -> suc ( `' N ` m ) e. om )
116	108, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> suc ( `' N ` m ) e. om )
117	113, 26, 114, 116	frec2uzled 10202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ suc ( `' N ` m ) <-> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( N ` suc ( `' N ` m ) ) ) )
118	112, 117	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( N ` suc ( `' N ` m ) ) )
119	113, 26, 108	frec2uzsucd 10174	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` suc ( `' N ` m ) ) = ( ( N ` ( `' N ` m ) ) + 1 ) )
120	75	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` ( `' N ` m ) ) = m )
121	120	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( ( N ` ( `' N ` m ) ) + 1 ) = ( m + 1 ) )
122	119, 121	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` suc ( `' N ` m ) ) = ( m + 1 ) )
123	118, 122	breqtrd 3954	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( m + 1 ) )
124	82	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) = ( m + 1 ) )
125	123, 124	breqtrrd 3956	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) )
126	86	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( `' N ` ( m + 1 ) ) e. om )
127	113, 26, 114, 126	frec2uzled 10202	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) <-> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) ) )
128	125, 127	mpbird 166	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) )
129	39, 40, 71	ennnfonelemdc 11912	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> DECID ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) )
130		exmiddc 821	. . . . . . . . 9 |- (DECID ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) -> ( ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) \/ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) )
131	129, 130	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) \/ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) )
132	89, 128, 131	mpjaodan 787	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) )
133	132	ex 114	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) )
134	133	expcom 115	. . . . 5 |- ( m e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ph -> ( dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) ) )
135	134	a2d 26	. . . 4 |- ( m e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ( ph -> dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( ph -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) ) )
136	6, 11, 16, 21, 35, 135	uzind4 9383	. . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ph -> dom ( H ` P ) C_ ( `' N ` P ) ) )
137	136, 43	eleq2s 2234	. 2 |- ( P e. NN0 -> ( ph -> dom ( H ` P ) C_ ( `' N ` P ) ) )
138	1, 137	mpcom 36	1 |- ( ph -> dom ( H ` P ) C_ ( `' N ` P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   A.wral 2416   E.wrex 2417   u. cun 3069   C_ wss 3071   (/)c0 3363   ifcif 3474   {csn 3527   <.cop 3530   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   suc csuc 4287   omcom 4504   `'ccnv 4538   dom cdm 4539   "cima 4542   -->wf 5119   -onto->wfo 5121   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776  freccfrec 6287   ^pm cpm 6543   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   <_ cle 7801   - cmin 7933   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   seqcseq 10218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pm 6545  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-seqfrec 10219

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