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Theorem facavg 9770
Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facavg  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  <_  ( ( ! `
 M )  x.  ( ! `  N
) ) )

Proof of Theorem facavg
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 8390 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )
21nn0zd 8548 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  ZZ )
3 2nn 8260 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
4 znq 8790 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  2  e.  NN )  ->  ( ( M  +  N )  /  2
)  e.  QQ )
52, 3, 4sylancl 404 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( M  +  N )  /  2
)  e.  QQ )
6 flqle 9360 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  N
)  /  2 )  e.  QQ  ->  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_ 
( ( M  +  N )  /  2
) )
75, 6syl 14 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  <_  ( ( M  +  N )  /  2 ) )
85flqcld 9359 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  ZZ )
98zred 8550 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  RR )
10 nn0readdcl 8414 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  RR )
1110rehalfcld 8344 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( M  +  N )  /  2
)  e.  RR )
12 nn0re 8364 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
1312adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
14 letr 7261 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( ( M  +  N )  /  2
)  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_ 
( ( M  +  N )  /  2
)  /\  ( ( M  +  N )  /  2 )  <_  M )  ->  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_  M ) )
159, 11, 13, 14syl3anc 1170 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( |_
`  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_ 
( ( M  +  N )  /  2
)  /\  ( ( M  +  N )  /  2 )  <_  M )  ->  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_  M ) )
167, 15mpand 420 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  N )  / 
2 )  <_  M  ->  ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  <_  M )
)
171nn0ge0d 8411 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( M  +  N ) )
18 halfnneg2 8330 . . . . . . 7  |-  ( ( M  +  N )  e.  RR  ->  (
0  <_  ( M  +  N )  <->  0  <_  ( ( M  +  N
)  /  2 ) ) )
1910, 18syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  ( M  +  N )  <->  0  <_  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )
2017, 19mpbid 145 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ( M  +  N )  /  2 ) )
21 flqge0nn0 9375 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  +  N )  /  2
)  e.  QQ  /\  0  <_  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  -> 
( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  NN0 )
225, 20, 21syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  NN0 )
23 simpl 107 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
24 facwordi 9764 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  NN0  /\  M  e.  NN0  /\  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_  M )  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ! `  M
) )
25243exp 1138 . . . 4  |-  ( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) )  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) )  <_  M  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ! `  M
) ) ) )
2622, 23, 25sylc 61 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) )  <_  M  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  <_  ( ! `  M ) ) )
27 faccl 9759 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  NN )
2827nncnd 8120 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  CC )
2928mulid1d 7198 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ! `  M )  x.  1 )  =  ( ! `  M
) )
3029adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  M )  x.  1 )  =  ( ! `
 M ) )
31 faccl 9759 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
3231nnred 8119 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  RR )
3332adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  N
)  e.  RR )
3427nnred 8119 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  RR )
3527nnnn0d 8408 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e. 
NN0 )
3635nn0ge0d 8411 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ! `  M
) )
3734, 36jca 300 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ! `  M )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  M
) ) )
3837adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  M )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  M ) ) )
3931nnge1d 8148 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  <_ 
( ! `  N
) )
4039adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  <_  ( ! `  N ) )
41 1re 7180 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
42 lemul2a 8004 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  ( ! `  N
)  e.  RR  /\  ( ( ! `  M )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  M ) ) )  /\  1  <_  ( ! `  N )
)  ->  ( ( ! `  M )  x.  1 )  <_  (
( ! `  M
)  x.  ( ! `
 N ) ) )
4341, 42mp3anl1 1263 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ! `  N )  e.  RR  /\  ( ( ! `  M )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  M ) ) )  /\  1  <_  ( ! `  N )
)  ->  ( ( ! `  M )  x.  1 )  <_  (
( ! `  M
)  x.  ( ! `
 N ) ) )
4433, 38, 40, 43syl21anc 1169 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  M )  x.  1 )  <_  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N
) ) )
4530, 44eqbrtrrd 3815 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N
) ) )
46 faccl 9759 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  e.  NN )
4722, 46syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  e.  NN )
4847nnred 8119 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  e.  RR )
4934adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  M
)  e.  RR )
50 remulcl 7163 . . . . . 6  |-  ( ( ( ! `  M
)  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR )  -> 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )
5134, 32, 50syl2an 283 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )
52 letr 7261 . . . . 5  |-  ( ( ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  ( ! `  M )  e.  RR  /\  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N ) )  e.  RR )  ->  (
( ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) ) )  <_  ( ! `  M )  /\  ( ! `  M )  <_  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
5348, 49, 51, 52syl3anc 1170 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ! `  M
)  /\  ( ! `  M )  <_  (
( ! `  M
)  x.  ( ! `
 N ) ) )  ->  ( ! `  ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) ) )  <_  (
( ! `  M
)  x.  ( ! `
 N ) ) ) )
5445, 53mpan2d 419 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) ) )  <_  ( ! `  M )  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
5516, 26, 543syld 56 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  N )  / 
2 )  <_  M  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  <_  ( ( ! `
 M )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
56 nn0re 8364 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
5756adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
58 letr 7261 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( ( M  +  N )  /  2
)  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_ 
( ( M  +  N )  /  2
)  /\  ( ( M  +  N )  /  2 )  <_  N )  ->  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_  N ) )
599, 11, 57, 58syl3anc 1170 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( |_
`  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_ 
( ( M  +  N )  /  2
)  /\  ( ( M  +  N )  /  2 )  <_  N )  ->  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_  N ) )
607, 59mpand 420 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  N )  / 
2 )  <_  N  ->  ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  <_  N )
)
61 simpr 108 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
62 facwordi 9764 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_  N )  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ! `  N
) )
63623exp 1138 . . . 4  |-  ( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) )  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) )  <_  N  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ! `  N
) ) ) )
6422, 61, 63sylc 61 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) )  <_  N  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  <_  ( ! `  N ) ) )
6531nncnd 8120 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  CC )
6665mulid2d 7199 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ! `  N
) )
6766adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 1  x.  ( ! `  N )
)  =  ( ! `
 N ) )
6831nnnn0d 8408 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e. 
NN0 )
6968nn0ge0d 8411 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ! `  N
) )
7032, 69jca 300 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  N
) ) )
7170adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  N ) ) )
7227nnge1d 8148 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  1  <_ 
( ! `  M
) )
7372adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  <_  ( ! `  M ) )
74 lemul1a 8003 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  ( ! `  M
)  e.  RR  /\  ( ( ! `  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  N ) ) )  /\  1  <_  ( ! `  M )
)  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  <_ 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) )
7541, 74mp3anl1 1263 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ! `  M )  e.  RR  /\  ( ( ! `  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  N ) ) )  /\  1  <_  ( ! `  M )
)  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  <_ 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) )
7649, 71, 73, 75syl21anc 1169 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 1  x.  ( ! `  N )
)  <_  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N
) ) )
7767, 76eqbrtrrd 3815 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  N
)  <_  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N
) ) )
78 letr 7261 . . . . 5  |-  ( ( ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR  /\  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N ) )  e.  RR )  ->  (
( ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) ) )  <_  ( ! `  N )  /\  ( ! `  N )  <_  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
7948, 33, 51, 78syl3anc 1170 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ! `  N
)  /\  ( ! `  N )  <_  (
( ! `  M
)  x.  ( ! `
 N ) ) )  ->  ( ! `  ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) ) )  <_  (
( ! `  M
)  x.  ( ! `
 N ) ) ) )
8077, 79mpan2d 419 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) ) )  <_  ( ! `  N )  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
8160, 64, 803syld 56 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  N )  / 
2 )  <_  N  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  <_  ( ( ! `
 M )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
8223nn0zd 8548 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
83 zq 8792 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  QQ )
8482, 83syl 14 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  QQ )
8561nn0zd 8548 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
86 zq 8792 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  QQ )
8785, 86syl 14 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  QQ )
88 qavgle 9345 . . 3  |-  ( ( M  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  ->  ( ( ( M  +  N )  / 
2 )  <_  M  \/  ( ( M  +  N )  /  2
)  <_  N )
)
8984, 87, 88syl2anc 403 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  N )  / 
2 )  <_  M  \/  ( ( M  +  N )  /  2
)  <_  N )
)
9055, 81, 89mpjaod 671 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  <_  ( ( ! `
 M )  x.  ( ! `  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3793   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   RRcr 7042   0cc0 7043   1c1 7044    + caddc 7046    x. cmul 7048    <_ cle 7216    / cdiv 7827   NNcn 8106   2c2 8156   NN0cn0 8355   ZZcz 8432   QQcq 8785   |_cfl 9350   !cfa 9749
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156  ax-arch 7157
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-2 8165  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-q 8786  df-rp 8816  df-fl 9352  df-iseq 9522  df-fac 9750
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