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Theorem fmptco 5358
Description: Composition of two functions expressed as ordered-pair class abstractions. If  F has the equation ( x + 2 ) and  G the equation ( 3 * z ) then  ( G  o.  F
) has the equation ( 3 * ( x + 2 ) ) . (Contributed by FL, 21-Jun-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptco.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  B )
fmptco.2  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  R ) )
fmptco.3  |-  ( ph  ->  G  =  ( y  e.  B  |->  S ) )
fmptco.4  |-  ( y  =  R  ->  S  =  T )
Assertion
Ref Expression
fmptco  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  =  ( x  e.  A  |->  T ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    y, R    ph, x    x, S    y, T
Allowed substitution hints:    ph( y)    A( y)    R( x)    S( y)    T( x)    F( x, y)    G( x, y)

Proof of Theorem fmptco
Dummy variables  v  u  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 4847 . 2  |-  Rel  ( G  o.  F )
2 funmpt 4966 . . 3  |-  Fun  (
x  e.  A  |->  T )
3 funrel 4947 . . 3  |-  ( Fun  ( x  e.  A  |->  T )  ->  Rel  ( x  e.  A  |->  T ) )
42, 3ax-mp 7 . 2  |-  Rel  (
x  e.  A  |->  T )
5 fmptco.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  B )
6 eqid 2056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R )
75, 6fmptd 5350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> B )
8 fmptco.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  R ) )
98feq1d 5062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F : A --> B 
<->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> B ) )
107, 9mpbird 160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
11 ffun 5076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> B  ->  Fun  F )
1210, 11syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Fun  F )
13 funbrfv 5240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  ( z F u  ->  ( F `
 z )  =  u ) )
1413imp 119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  z F u )  -> 
( F `  z
)  =  u )
1512, 14sylan 271 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z F u )  ->  ( F `  z )  =  u )
1615eqcomd 2061 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z F u )  ->  u  =  ( F `  z ) )
1716a1d 22 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z F u )  ->  (
u G w  ->  u  =  ( F `  z ) ) )
1817expimpd 349 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( z F u  /\  u G w )  ->  u  =  ( F `  z ) ) )
1918pm4.71rd 380 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z F u  /\  u G w )  <->  ( u  =  ( F `  z )  /\  (
z F u  /\  u G w ) ) ) )
2019exbidv 1722 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. u ( z F u  /\  u G w )  <->  E. u
( u  =  ( F `  z )  /\  ( z F u  /\  u G w ) ) ) )
21 exsimpl 1524 . . . . . . 7  |-  ( E. u ( u  =  ( F `  z
)  /\  ( z F u  /\  u G w ) )  ->  E. u  u  =  ( F `  z
) )
22 isset 2578 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  z )  e.  _V  <->  E. u  u  =  ( F `  z ) )
2321, 22sylibr 141 . . . . . 6  |-  ( E. u ( u  =  ( F `  z
)  /\  ( z F u  /\  u G w ) )  ->  ( F `  z )  e.  _V )
2423a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. u ( u  =  ( F `
 z )  /\  ( z F u  /\  u G w ) )  ->  ( F `  z )  e.  _V ) )
2512adantr 265 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  Fun  F )
26 fdm 5078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
2710, 26syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
2827eleq2d 2123 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( z  e.  dom  F  <-> 
z  e.  A ) )
2928biimpar 285 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  dom  F )
30 funfvex 5220 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  dom  F )  -> 
( F `  z
)  e.  _V )
3125, 29, 30syl2anc 397 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  _V )
3231adantrr 456 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )  -> 
( F `  z
)  e.  _V )
3332ex 112 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  /\  w  = 
[_ z  /  x ]_ T )  ->  ( F `  z )  e.  _V ) )
34 breq2 3796 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  (
z F u  <->  z F
( F `  z
) ) )
35 breq1 3795 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  (
u G w  <->  ( F `  z ) G w ) )
3634, 35anbi12d 450 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  (
( z F u  /\  u G w )  <->  ( z F ( F `  z
)  /\  ( F `  z ) G w ) ) )
3736ceqsexgv 2696 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  z )  e.  _V  ->  ( E. u ( u  =  ( F `  z
)  /\  ( z F u  /\  u G w ) )  <-> 
( z F ( F `  z )  /\  ( F `  z ) G w ) ) )
38 funfvbrb 5308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  e.  dom  F  <->  z F
( F `  z
) ) )
3912, 38syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  dom  F  <-> 
z F ( F `
 z ) ) )
4039, 28bitr3d 183 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( z F ( F `  z )  <-> 
z  e.  A ) )
418fveq1d 5208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  z
)  =  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) )
42 fmptco.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( y  e.  B  |->  S ) )
43 eqidd 2057 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  w  =  w )
4441, 42, 43breq123d 3806 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  z ) G w  <-> 
( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w ) )
4540, 44anbi12d 450 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( z F ( F `  z
)  /\  ( F `  z ) G w )  <->  ( z  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w ) ) )
46 nfcv 2194 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
z
47 nfv 1437 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x ph
48 nffvmpt1 5214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  R ) `  z )
49 nfcv 2194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( y  e.  B  |->  S )
50 nfcv 2194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x w
5148, 49, 50nfbr 3836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w
52 nfcsb1v 2910 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ T
5352nfeq2 2205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x  w  =  [_ z  /  x ]_ T
5451, 53nfbi 1497 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T )
5547, 54nfim 1480 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z
) ( y  e.  B  |->  S ) w  <-> 
w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
56 fveq2 5206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  R ) `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) )
5756breq1d 3802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 z ) ( y  e.  B  |->  S ) w ) )
58 csbeq1a 2888 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  T  =  [_ z  /  x ]_ T )
5958eqeq2d 2067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
w  =  T  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
6057, 59bibi12d 228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  T )  <->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) `  z
) ( y  e.  B  |->  S ) w  <-> 
w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
6160imbi2d 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  x
) ( y  e.  B  |->  S ) w  <-> 
w  =  T ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) ) )
62 vex 2577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  w  e. 
_V
63 simpl 106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  y  =  R )
6463eleq1d 2122 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  ( y  e.  B  <->  R  e.  B ) )
65 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  u  =  w )
66 fmptco.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  R  ->  S  =  T )
6766adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  S  =  T )
6865, 67eqeq12d 2070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  ( u  =  S  <-> 
w  =  T ) )
6964, 68anbi12d 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  ( ( y  e.  B  /\  u  =  S )  <->  ( R  e.  B  /\  w  =  T ) ) )
70 df-mpt 3848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  B  |->  S )  =  { <. y ,  u >.  |  (
y  e.  B  /\  u  =  S ) }
7169, 70brabga 4029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  B  /\  w  e.  _V )  ->  ( R ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  ( R  e.  B  /\  w  =  T ) ) )
725, 62, 71sylancl 398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R ( y  e.  B  |->  S ) w  <-> 
( R  e.  B  /\  w  =  T
) ) )
73 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
746fvmpt2 5282 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  R  e.  B )  ->  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  x )  =  R )
7573, 5, 74syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  R ) `  x
)  =  R )
7675breq1d 3802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  R ( y  e.  B  |->  S ) w ) )
775biantrurd 293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
w  =  T  <->  ( R  e.  B  /\  w  =  T ) ) )
7872, 76, 773bitr4d 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  T
) )
7978expcom 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  T ) ) )
8046, 55, 61, 79vtoclgaf 2635 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  A  ->  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
8180impcom 120 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
8281pm5.32da 433 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w )  <-> 
( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
8345, 82bitrd 181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( z F ( F `  z
)  /\  ( F `  z ) G w )  <->  ( z  e.  A  /\  w  = 
[_ z  /  x ]_ T ) ) )
8437, 83sylan9bbr 444 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F `  z )  e.  _V )  ->  ( E. u
( u  =  ( F `  z )  /\  ( z F u  /\  u G w ) )  <->  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
8584ex 112 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  z )  e.  _V  ->  ( E. u ( u  =  ( F `
 z )  /\  ( z F u  /\  u G w ) )  <->  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) ) )
8624, 33, 85pm5.21ndd 631 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. u ( u  =  ( F `
 z )  /\  ( z F u  /\  u G w ) )  <->  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
8720, 86bitrd 181 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. u ( z F u  /\  u G w )  <->  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
88 vex 2577 . . . 4  |-  z  e. 
_V
8988, 62opelco 4535 . . 3  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( G  o.  F
)  <->  E. u ( z F u  /\  u G w ) )
90 df-mpt 3848 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  T )  =  { <. x ,  v >.  |  ( x  e.  A  /\  v  =  T ) }
9190eleq2i 2120 . . . 4  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( x  e.  A  |->  T )  <->  <. z ,  w >.  e.  { <. x ,  v >.  |  ( x  e.  A  /\  v  =  T ) } )
92 nfv 1437 . . . . . 6  |-  F/ x  z  e.  A
9352nfeq2 2205 . . . . . 6  |-  F/ x  v  =  [_ z  /  x ]_ T
9492, 93nfan 1473 . . . . 5  |-  F/ x
( z  e.  A  /\  v  =  [_ z  /  x ]_ T )
95 nfv 1437 . . . . 5  |-  F/ v ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T )
96 eleq1 2116 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  A  <->  z  e.  A ) )
9758eqeq2d 2067 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
v  =  T  <->  v  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
9896, 97anbi12d 450 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  /\  v  =  T
)  <->  ( z  e.  A  /\  v  = 
[_ z  /  x ]_ T ) ) )
99 eqeq1 2062 . . . . . 6  |-  ( v  =  w  ->  (
v  =  [_ z  /  x ]_ T  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
10099anbi2d 445 . . . . 5  |-  ( v  =  w  ->  (
( z  e.  A  /\  v  =  [_ z  /  x ]_ T )  <-> 
( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
10194, 95, 88, 62, 98, 100opelopabf 4039 . . . 4  |-  ( <.
z ,  w >.  e. 
{ <. x ,  v
>.  |  ( x  e.  A  /\  v  =  T ) }  <->  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
10291, 101bitri 177 . . 3  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( x  e.  A  |->  T )  <->  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
10387, 89, 1023bitr4g 216 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. z ,  w >.  e.  ( G  o.  F )  <->  <. z ,  w >.  e.  (
x  e.  A  |->  T ) ) )
1041, 4, 103eqrelrdv 4464 1  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  =  ( x  e.  A  |->  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   _Vcvv 2574   [_csb 2880   <.cop 3406   class class class wbr 3792   {copab 3845    |-> cmpt 3846   dom cdm 4373    o. ccom 4377   Rel wrel 4378   Fun wfun 4924   -->wf 4926   ` cfv 4930
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-fv 4938
This theorem is referenced by:  fmptcof  5359  fcompt  5361  fcoconst  5362  ofco  5757
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