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Theorem fldiv4p1lem1div2 9464
Description: The floor of an integer equal to 3 or greater than 4, increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fldiv4p1lem1div2 ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘5)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4p1lem1div2
StepHypRef Expression
1 1le1 7816 . . . 4 1 ≤ 1
21a1i 9 . . 3 (𝑁 = 3 → 1 ≤ 1)
3 oveq1 5572 . . . . . . 7 (𝑁 = 3 → (𝑁 / 4) = (3 / 4))
43fveq2d 5235 . . . . . 6 (𝑁 = 3 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(3 / 4)))
5 3lt4 8348 . . . . . . 7 3 < 4
6 3nn0 8450 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
7 4nn 8339 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
8 divfl0 9455 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0))
96, 7, 8mp2an 417 . . . . . . 7 (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0)
105, 9mpbi 143 . . . . . 6 (⌊‘(3 / 4)) = 0
114, 10syl6eq 2131 . . . . 5 (𝑁 = 3 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = 0)
1211oveq1d 5580 . . . 4 (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = (0 + 1))
13 0p1e1 8297 . . . 4 (0 + 1) = 1
1412, 13syl6eq 2131 . . 3 (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = 1)
15 oveq1 5572 . . . . . 6 (𝑁 = 3 → (𝑁 − 1) = (3 − 1))
16 3m1e2 8302 . . . . . 6 (3 − 1) = 2
1715, 16syl6eq 2131 . . . . 5 (𝑁 = 3 → (𝑁 − 1) = 2)
1817oveq1d 5580 . . . 4 (𝑁 = 3 → ((𝑁 − 1) / 2) = (2 / 2))
19 2div2e1 8308 . . . 4 (2 / 2) = 1
2018, 19syl6eq 2131 . . 3 (𝑁 = 3 → ((𝑁 − 1) / 2) = 1)
212, 14, 203brtr4d 3836 . 2 (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
22 uzp1 8810 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → (𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘(5 + 1))))
23 2re 8253 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
2423leidi 7730 . . . . . 6 2 ≤ 2
2524a1i 9 . . . . 5 (𝑁 = 5 → 2 ≤ 2)
26 oveq1 5572 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 5 → (𝑁 / 4) = (5 / 4))
2726fveq2d 5235 . . . . . . . 8 (𝑁 = 5 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(5 / 4)))
28 df-5 8245 . . . . . . . . . . . 12 5 = (4 + 1)
2928oveq1i 5575 . . . . . . . . . . 11 (5 / 4) = ((4 + 1) / 4)
30 4cn 8261 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
31 ax-1cn 7208 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
32 4ap0 8282 . . . . . . . . . . . . 13 4 # 0
3330, 31, 30, 32divdirapi 8001 . . . . . . . . . . . 12 ((4 + 1) / 4) = ((4 / 4) + (1 / 4))
3430, 32dividapi 7977 . . . . . . . . . . . . 13 (4 / 4) = 1
3534oveq1i 5575 . . . . . . . . . . . 12 ((4 / 4) + (1 / 4)) = (1 + (1 / 4))
3633, 35eqtri 2103 . . . . . . . . . . 11 ((4 + 1) / 4) = (1 + (1 / 4))
3729, 36eqtri 2103 . . . . . . . . . 10 (5 / 4) = (1 + (1 / 4))
3837fveq2i 5234 . . . . . . . . 9 (⌊‘(5 / 4)) = (⌊‘(1 + (1 / 4)))
39 1re 7257 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
40 0le1 7729 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
41 4re 8260 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℝ
42 4pos 8280 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
43 divge0 8095 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (1 / 4))
4439, 40, 41, 42, 43mp4an 418 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (1 / 4)
45 1lt4 8350 . . . . . . . . . . 11 1 < 4
46 recgt1 8119 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
4741, 42, 46mp2an 417 . . . . . . . . . . 11 (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
4845, 47mpbi 143 . . . . . . . . . 10 (1 / 4) < 1
49 1z 8535 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
50 znq 8867 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 / 4) ∈ ℚ)
5149, 7, 50mp2an 417 . . . . . . . . . . 11 (1 / 4) ∈ ℚ
52 flqbi2 9450 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ (1 / 4) ∈ ℚ) → ((⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1 ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
5349, 51, 52mp2an 417 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1 ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1))
5444, 48, 53mpbir2an 884 . . . . . . . . 9 (⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1
5538, 54eqtri 2103 . . . . . . . 8 (⌊‘(5 / 4)) = 1
5627, 55syl6eq 2131 . . . . . . 7 (𝑁 = 5 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = 1)
5756oveq1d 5580 . . . . . 6 (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = (1 + 1))
58 1p1e2 8299 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
5957, 58syl6eq 2131 . . . . 5 (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = 2)
60 oveq1 5572 . . . . . . . 8 (𝑁 = 5 → (𝑁 − 1) = (5 − 1))
6130, 31, 28mvrraddi 7469 . . . . . . . 8 (5 − 1) = 4
6260, 61syl6eq 2131 . . . . . . 7 (𝑁 = 5 → (𝑁 − 1) = 4)
6362oveq1d 5580 . . . . . 6 (𝑁 = 5 → ((𝑁 − 1) / 2) = (4 / 2))
64 4d2e2 8336 . . . . . 6 (4 / 2) = 2
6563, 64syl6eq 2131 . . . . 5 (𝑁 = 5 → ((𝑁 − 1) / 2) = 2)
6625, 59, 653brtr4d 3836 . . . 4 (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
67 eluz2 8783 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘6) ↔ (6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁))
68 znq 8867 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑁 / 4) ∈ ℚ)
697, 68mpan2 416 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℚ)
70 flqle 9437 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 / 4) ∈ ℚ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
7169, 70syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
7271adantr 270 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
7369flqcld 9436 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
7473zred 8627 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
75 zre 8513 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
76 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
7741a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
7832a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℝ → 4 # 0)
7976, 77, 78redivclapd 8064 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
8075, 79syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
8139a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
8274, 80, 813jca 1119 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
8382adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
84 leadd1 7678 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1)))
8583, 84syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1)))
8672, 85mpbid 145 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1))
87 div4p1lem1div2 8428 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
8875, 87sylan 277 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
89 peano2re 7388 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
9074, 89syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
91 peano2re 7388 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
9280, 91syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
93 peano2rem 7519 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
9493rehalfcld 8421 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
9575, 94syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
9690, 92, 953jca 1119 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
9796adantr 270 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
98 letr 7338 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ) → ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1) ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
9997, 98syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1) ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
10086, 88, 99mp2and 424 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
1011003adant1 957 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
10267, 101sylbi 119 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘6) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
103 5p1e6 8313 . . . . . 6 (5 + 1) = 6
104103fveq2i 5234 . . . . 5 (ℤ‘(5 + 1)) = (ℤ‘6)
105102, 104eleq2s 2177 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘(5 + 1)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
10666, 105jaoi 669 . . 3 ((𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘(5 + 1))) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
10722, 106syl 14 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
10821, 107jaoi 669 1 ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘5)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3806  cfv 4953  (class class class)co 5565  cr 7119  0cc0 7120  1c1 7121   + caddc 7123   < clt 7292  cle 7293  cmin 7423   # cap 7825   / cdiv 7904  cn 8183  2c2 8233  3c3 8234  4c4 8235  5c5 8236  6c6 8237  0cn0 8432  cz 8509  cuz 8777  cq 8862  cfl 9427
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7206  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-1re 7209  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-mulrcl 7214  ax-addcom 7215  ax-mulcom 7216  ax-addass 7217  ax-mulass 7218  ax-distr 7219  ax-i2m1 7220  ax-0lt1 7221  ax-1rid 7222  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-precex 7225  ax-cnre 7226  ax-pre-ltirr 7227  ax-pre-ltwlin 7228  ax-pre-lttrn 7229  ax-pre-apti 7230  ax-pre-ltadd 7231  ax-pre-mulgt0 7232  ax-pre-mulext 7233  ax-arch 7234
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-fv 4961  df-riota 5521  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-1st 5820  df-2nd 5821  df-pnf 7294  df-mnf 7295  df-xr 7296  df-ltxr 7297  df-le 7298  df-sub 7425  df-neg 7426  df-reap 7819  df-ap 7826  df-div 7905  df-inn 8184  df-2 8242  df-3 8243  df-4 8244  df-5 8245  df-6 8246  df-n0 8433  df-z 8510  df-uz 8778  df-q 8863  df-rp 8893  df-fl 9429
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