Theorem minmax 11001

Description: Minimum expressed in terms of maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
minmax	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))

Proof of Theorem minmax

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 8023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 ∈ ℝ)
2		elprg 3547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝑧 ∈ ℝ → (-𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (-𝑧 = 𝐴 ∨ -𝑧 = 𝐵)))
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (-𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (-𝑧 = 𝐴 ∨ -𝑧 = 𝐵)))
4	3	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (-𝑧 = 𝐴 ∨ -𝑧 = 𝐵)))
5		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
6	5	recnd 7794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
7		simpll 518	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	recnd 7794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	6, 8	negcon1d 8067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 = 𝐴 ↔ -𝐴 = 𝑧))
10		eqcom 2141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝐴 = 𝑧 ↔ 𝑧 = -𝐴)
11	9, 10	syl6bb 195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 = 𝐴 ↔ 𝑧 = -𝐴))
12		simplr 519	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	recnd 7794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	6, 13	negcon1d 8067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 = 𝐵 ↔ -𝐵 = 𝑧))
15		eqcom 2141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝐵 = 𝑧 ↔ 𝑧 = -𝐵)
16	14, 15	syl6bb 195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 = 𝐵 ↔ 𝑧 = -𝐵))
17	11, 16	orbi12d 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((-𝑧 = 𝐴 ∨ -𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧 = -𝐴 ∨ 𝑧 = -𝐵)))
18	4, 17	bitrd 187	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝑧 = -𝐴 ∨ 𝑧 = -𝐵)))
19	18	rabbidva 2674	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 = -𝐴 ∨ 𝑧 = -𝐵)})
20		dfrab2 3351	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 = -𝐴 ∨ 𝑧 = -𝐵)} = ({𝑧 ∣ (𝑧 = -𝐴 ∨ 𝑧 = -𝐵)} ∩ ℝ)
21		dfpr2 3546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {-𝐴, -𝐵} = {𝑧 ∣ (𝑧 = -𝐴 ∨ 𝑧 = -𝐵)}
22	21	ineq1i 3273	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({-𝐴, -𝐵} ∩ ℝ) = ({𝑧 ∣ (𝑧 = -𝐴 ∨ 𝑧 = -𝐵)} ∩ ℝ)
23	20, 22	eqtr4i 2163	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 = -𝐴 ∨ 𝑧 = -𝐵)} = ({-𝐴, -𝐵} ∩ ℝ)
24		renegcl 8023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
25		renegcl 8023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
26		prssi 3678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → {-𝐴, -𝐵} ⊆ ℝ)
27	24, 25, 26	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {-𝐴, -𝐵} ⊆ ℝ)
28		df-ss 3084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({-𝐴, -𝐵} ⊆ ℝ ↔ ({-𝐴, -𝐵} ∩ ℝ) = {-𝐴, -𝐵})
29	27, 28	sylib 121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ({-𝐴, -𝐵} ∩ ℝ) = {-𝐴, -𝐵})
30	23, 29	syl5eq 2184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 = -𝐴 ∨ 𝑧 = -𝐵)} = {-𝐴, -𝐵})
31	19, 30	eqtrd 2172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}} = {-𝐴, -𝐵})
32	31	supeq1d 6874	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) = sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
33		maxcl 10982	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
34	24, 25, 33	syl2an 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
35	32, 34	eqeltrd 2216	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
36	35	renegcld 8142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
37		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 = 𝐴)
38	37	negeqd 7957	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → -𝑦 = -𝐴)
39		maxle1 10983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → -𝐴 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
40	24, 25, 39	syl2an 287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝐴 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
41	40	ad2antrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → -𝐴 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
42	38, 41	eqbrtrd 3950	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
43		simpll 518	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
44		simplll 522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
45	37, 44	eqeltrd 2216	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
46	32	negeqd 7957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
47	46	breq2d 3941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ↔ 𝑦 < -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
48	47	notbid 656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ↔ ¬ 𝑦 < -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
49	48	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ↔ ¬ 𝑦 < -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
50	34	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
51	50	renegcld 8142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
52		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
53	51, 52	lenltd 7880	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
54		lenegcon1 8228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑦 ↔ -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
55	34, 54	sylan 281	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑦 ↔ -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
56	49, 53, 55	3bitr2d 215	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ↔ -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
57	43, 45, 56	syl2anc 408	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ↔ -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
58	42, 57	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ))
59		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
60	59	negeqd 7957	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → -𝑦 = -𝐵)
61		maxle2 10984	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → -𝐵 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
62	24, 25, 61	syl2an 287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝐵 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
63	62	ad2antrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → -𝐵 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
64	60, 63	eqbrtrd 3950	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
65		simpll 518	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
66		simpllr 523	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
67	59, 66	eqeltrd 2216	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
68	65, 67, 56	syl2anc 408	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ↔ -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
69	64, 68	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ))
70		elpri 3550	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 𝐵))
71	70	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 𝐵))
72	58, 69, 71	mpjaodan 787	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ))
73	72	ralrimiva 2505	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ))
74	24	ad3antrrr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → -𝐴 ∈ ℝ)
75	25	ad3antlr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → -𝐵 ∈ ℝ)
76		simplr 519	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
77	76	renegcld 8142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → -𝑦 ∈ ℝ)
78	34	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
79		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦)
80	46	breq1d 3939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 ↔ -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) < 𝑦))
81	80	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 ↔ -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) < 𝑦))
82	79, 81	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) < 𝑦)
83	78, 76, 82	ltnegcon1d 8287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → -𝑦 < sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
84		maxleastlt 10987	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 < sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))) → (-𝑦 < -𝐴 ∨ -𝑦 < -𝐵))
85	74, 75, 77, 83, 84	syl22anc 1217	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → (-𝑦 < -𝐴 ∨ -𝑦 < -𝐵))
86		simplll 522	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ)
87	86, 76	ltnegd 8285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → (𝐴 < 𝑦 ↔ -𝑦 < -𝐴))
88		simpllr 523	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
89	88, 76	ltnegd 8285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → (𝐵 < 𝑦 ↔ -𝑦 < -𝐵))
90	87, 89	orbi12d 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → ((𝐴 < 𝑦 ∨ 𝐵 < 𝑦) ↔ (-𝑦 < -𝐴 ∨ -𝑦 < -𝐵)))
91	85, 90	mpbird 166	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → (𝐴 < 𝑦 ∨ 𝐵 < 𝑦))
92		breq1 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 𝐴 < 𝑦))
93		breq1 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 𝐵 < 𝑦))
94	92, 93	rexprg 3575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐴 < 𝑦 ∨ 𝐵 < 𝑦)))
95	94	ad2antrr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → (∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐴 < 𝑦 ∨ 𝐵 < 𝑦)))
96	91, 95	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)
97	96	ex 114	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))
98	97	ralrimiva 2505	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))
99		breq2 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < )))
100	99	notbid 656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → (¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < )))
101	100	ralbidv 2437	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < )))
102		breq1 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦))
103	102	imbi1d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦) ↔ (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)))
104	103	ralbidv 2437	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)))
105	101, 104	anbi12d 464	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → ((∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))))
106	105	rspcev 2789	. . . 4 ⊢ ((-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)))
107	36, 73, 98, 106	syl12anc 1214	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)))
108		prssi 3678	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
109	107, 108	infrenegsupex 9389	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ))
110	109, 46	eqtrd 2172	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {cab 2125  ∀wral 2416  ∃wrex 2417  {crab 2420   ∩ cin 3070   ⊆ wss 3071  {cpr 3528   class class class wbr 3929  supcsup 6869  infcinf 6870  ℝcr 7619   < clt 7800   ≤ cle 7801  -cneg 7934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771

This theorem is referenced by:  mincl  11002  min1inf  11003  min2inf  11004  lemininf  11005  ltmininf  11006  minabs  11007  minclpr  11008  xrminrecl  11042