ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  minmax GIF version

Theorem minmax 10313
Description: Minimum expressed in terms of maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
minmax ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))

Proof of Theorem minmax
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 7488 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 ∈ ℝ)
2 elprg 3436 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑧 ∈ ℝ → (-𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (-𝑧 = 𝐴 ∨ -𝑧 = 𝐵)))
31, 2syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℝ → (-𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (-𝑧 = 𝐴 ∨ -𝑧 = 𝐵)))
43adantl 271 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (-𝑧 = 𝐴 ∨ -𝑧 = 𝐵)))
5 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
65recnd 7261 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
7 simpll 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
87recnd 7261 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
96, 8negcon1d 7532 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 = 𝐴 ↔ -𝐴 = 𝑧))
10 eqcom 2085 . . . . . . . . . . . 12 (-𝐴 = 𝑧𝑧 = -𝐴)
119, 10syl6bb 194 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 = 𝐴𝑧 = -𝐴))
12 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
1312recnd 7261 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
146, 13negcon1d 7532 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 = 𝐵 ↔ -𝐵 = 𝑧))
15 eqcom 2085 . . . . . . . . . . . 12 (-𝐵 = 𝑧𝑧 = -𝐵)
1614, 15syl6bb 194 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 = 𝐵𝑧 = -𝐵))
1711, 16orbi12d 740 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((-𝑧 = 𝐴 ∨ -𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧 = -𝐴𝑧 = -𝐵)))
184, 17bitrd 186 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝑧 = -𝐴𝑧 = -𝐵)))
1918rabbidva 2598 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 = -𝐴𝑧 = -𝐵)})
20 dfrab2 3255 . . . . . . . . . 10 {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 = -𝐴𝑧 = -𝐵)} = ({𝑧 ∣ (𝑧 = -𝐴𝑧 = -𝐵)} ∩ ℝ)
21 dfpr2 3435 . . . . . . . . . . 11 {-𝐴, -𝐵} = {𝑧 ∣ (𝑧 = -𝐴𝑧 = -𝐵)}
2221ineq1i 3179 . . . . . . . . . 10 ({-𝐴, -𝐵} ∩ ℝ) = ({𝑧 ∣ (𝑧 = -𝐴𝑧 = -𝐵)} ∩ ℝ)
2320, 22eqtr4i 2106 . . . . . . . . 9 {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 = -𝐴𝑧 = -𝐵)} = ({-𝐴, -𝐵} ∩ ℝ)
24 renegcl 7488 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
25 renegcl 7488 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
26 prssi 3563 . . . . . . . . . . 11 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → {-𝐴, -𝐵} ⊆ ℝ)
2724, 25, 26syl2an 283 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {-𝐴, -𝐵} ⊆ ℝ)
28 df-ss 2995 . . . . . . . . . 10 ({-𝐴, -𝐵} ⊆ ℝ ↔ ({-𝐴, -𝐵} ∩ ℝ) = {-𝐴, -𝐵})
2927, 28sylib 120 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ({-𝐴, -𝐵} ∩ ℝ) = {-𝐴, -𝐵})
3023, 29syl5eq 2127 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 = -𝐴𝑧 = -𝐵)} = {-𝐴, -𝐵})
3119, 30eqtrd 2115 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}} = {-𝐴, -𝐵})
3231supeq1d 6494 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) = sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
33 maxcl 10297 . . . . . . 7 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3424, 25, 33syl2an 283 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3532, 34eqeltrd 2159 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3635renegcld 7603 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
37 simpr 108 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 = 𝐴)
3837negeqd 7422 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → -𝑦 = -𝐴)
39 maxle1 10298 . . . . . . . . . 10 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → -𝐴 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
4024, 25, 39syl2an 283 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝐴 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
4140ad2antrr 472 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → -𝐴 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
4238, 41eqbrtrd 3825 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
43 simpll 496 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
44 simplll 500 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4537, 44eqeltrd 2159 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
4632negeqd 7422 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
4746breq2d 3817 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ↔ 𝑦 < -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
4847notbid 625 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ↔ ¬ 𝑦 < -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
4948adantr 270 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ↔ ¬ 𝑦 < -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
5034adantr 270 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5150renegcld 7603 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
52 simpr 108 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
5351, 52lenltd 7346 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
54 lenegcon1 7689 . . . . . . . . . 10 ((sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑦 ↔ -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
5534, 54sylan 277 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑦 ↔ -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
5649, 53, 553bitr2d 214 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ↔ -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
5743, 45, 56syl2anc 403 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ↔ -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
5842, 57mpbird 165 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ))
59 simpr 108 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
6059negeqd 7422 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → -𝑦 = -𝐵)
61 maxle2 10299 . . . . . . . . . 10 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → -𝐵 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
6224, 25, 61syl2an 283 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝐵 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
6362ad2antrr 472 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → -𝐵 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
6460, 63eqbrtrd 3825 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
65 simpll 496 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
66 simpllr 501 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
6759, 66eqeltrd 2159 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
6865, 67, 56syl2anc 403 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ↔ -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
6964, 68mpbird 165 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ))
70 elpri 3439 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐵))
7170adantl 271 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐵))
7258, 69, 71mpjaodan 745 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ))
7372ralrimiva 2439 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ))
7424ad3antrrr 476 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → -𝐴 ∈ ℝ)
7525ad3antlr 477 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → -𝐵 ∈ ℝ)
76 simplr 497 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
7776renegcld 7603 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → -𝑦 ∈ ℝ)
7834ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
79 simpr 108 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦)
8046breq1d 3815 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 ↔ -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) < 𝑦))
8180ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 ↔ -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) < 𝑦))
8279, 81mpbid 145 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) < 𝑦)
8378, 76, 82ltnegcon1d 7744 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → -𝑦 < sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
84 maxleastlt 10302 . . . . . . . . 9 (((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 < sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))) → (-𝑦 < -𝐴 ∨ -𝑦 < -𝐵))
8574, 75, 77, 83, 84syl22anc 1171 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → (-𝑦 < -𝐴 ∨ -𝑦 < -𝐵))
86 simplll 500 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ)
8786, 76ltnegd 7742 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → (𝐴 < 𝑦 ↔ -𝑦 < -𝐴))
88 simpllr 501 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
8988, 76ltnegd 7742 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → (𝐵 < 𝑦 ↔ -𝑦 < -𝐵))
9087, 89orbi12d 740 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → ((𝐴 < 𝑦𝐵 < 𝑦) ↔ (-𝑦 < -𝐴 ∨ -𝑦 < -𝐵)))
9185, 90mpbird 165 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → (𝐴 < 𝑦𝐵 < 𝑦))
92 breq1 3808 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 < 𝑦𝐴 < 𝑦))
93 breq1 3808 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑦𝐵 < 𝑦))
9492, 93rexprg 3462 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐴 < 𝑦𝐵 < 𝑦)))
9594ad2antrr 472 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → (∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐴 < 𝑦𝐵 < 𝑦)))
9691, 95mpbird 165 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)
9796ex 113 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))
9897ralrimiva 2439 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))
99 breq2 3809 . . . . . . . 8 (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < )))
10099notbid 625 . . . . . . 7 (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → (¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < )))
101100ralbidv 2373 . . . . . 6 (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < )))
102 breq1 3808 . . . . . . . 8 (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦))
103102imbi1d 229 . . . . . . 7 (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦) ↔ (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)))
104103ralbidv 2373 . . . . . 6 (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)))
105101, 104anbi12d 457 . . . . 5 (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → ((∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))))
106105rspcev 2710 . . . 4 ((-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)))
10736, 73, 98, 106syl12anc 1168 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)))
108 prssi 3563 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
109107, 108infrenegsupex 8815 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ))
110109, 46eqtrd 2115 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662   = wceq 1285  wcel 1434  {cab 2069  wral 2353  wrex 2354  {crab 2357  cin 2981  wss 2982  {cpr 3417   class class class wbr 3805  supcsup 6489  infcinf 6490  cr 7094   < clt 7267  cle 7268  -cneg 7399
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209  ax-caucvg 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-isom 4961  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-sup 6491  df-inf 6492  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-3 8218  df-4 8219  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-rp 8868  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086
This theorem is referenced by:  min1inf  10314  min2inf  10315  lemininf  10316  ltmininf  10317
  Copyright terms: Public domain W3C validator