Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2wlklem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2wlklem 26432
 Description: Lemma for theorems for walks of length 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
2wlklem (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘

Proof of Theorem 2wlklem
StepHypRef Expression
1 c0ex 9978 . 2 0 ∈ V
2 1ex 9979 . 2 1 ∈ V
3 fveq2 6148 . . . 4 (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
43fveq2d 6152 . . 3 (𝑘 = 0 → (𝐸‘(𝐹𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘0)))
5 fveq2 6148 . . . 4 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
6 oveq1 6611 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = (0 + 1))
7 0p1e1 11076 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
86, 7syl6eq 2671 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = 1)
98fveq2d 6152 . . . 4 (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
105, 9preq12d 4246 . . 3 (𝑘 = 0 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
114, 10eqeq12d 2636 . 2 (𝑘 = 0 → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}))
12 fveq2 6148 . . . 4 (𝑘 = 1 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘1))
1312fveq2d 6152 . . 3 (𝑘 = 1 → (𝐸‘(𝐹𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘1)))
14 fveq2 6148 . . . 4 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
15 oveq1 6611 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = (1 + 1))
16 1p1e2 11078 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
1715, 16syl6eq 2671 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = 2)
1817fveq2d 6152 . . . 4 (𝑘 = 1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘2))
1914, 18preq12d 4246 . . 3 (𝑘 = 1 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
2013, 19eqeq12d 2636 . 2 (𝑘 = 1 → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
211, 2, 11, 20ralpr 4209 1 (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480  ∀wral 2907  {cpr 4150  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  2c2 11014 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023  df-2 11023 This theorem is referenced by:  upgr2wlk  26433  usgr2wlkneq  26521  usgr2trlncl  26525  usgr2pthlem  26528  usgr2pth  26529  uspgrn2crct  26569  wlk2v2elem2  26882
 Copyright terms: Public domain W3C validator