Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4atlem12 33712
Description: Lemma for 4at 33713. Combine all four possible cases. (Contributed by NM, 11-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l = (le‘𝐾)
4at.j = (join‘𝐾)
4at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
4atlem12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))

Proof of Theorem 4atlem12
StepHypRef Expression
1 simpl11 1128 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
2 hllat 33464 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
31, 2syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simpl12 1129 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑃𝐴)
5 eqid 2609 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 4at.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 33390 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
84, 7syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9 simpl13 1130 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑄𝐴)
105, 6atbase 33390 . . . . . 6 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
119, 10syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
12 simpl23 1133 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑇𝐴)
13 simpl31 1134 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑈𝐴)
14 4at.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
155, 14, 6hlatjcl 33467 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴𝑈𝐴) → (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
161, 12, 13, 15syl3anc 1317 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
17 simpl32 1135 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑉𝐴)
18 simpl33 1136 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑊𝐴)
195, 14, 6hlatjcl 33467 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) → (𝑉 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
201, 17, 18, 19syl3anc 1317 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑉 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
215, 14latjcl 16820 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑉 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
223, 16, 20, 21syl3anc 1317 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
23 4at.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
245, 23, 14latjle12 16831 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ↔ (𝑃 𝑄) ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))
253, 8, 11, 22, 24syl13anc 1319 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ↔ (𝑃 𝑄) ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))
26 simpl21 1131 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑅𝐴)
275, 6atbase 33390 . . . . . 6 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
2826, 27syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
29 simpl22 1132 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑆𝐴)
305, 6atbase 33390 . . . . . 6 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
3129, 30syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
325, 23, 14latjle12 16831 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ↔ (𝑅 𝑆) ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))
333, 28, 31, 22, 32syl13anc 1319 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ↔ (𝑅 𝑆) ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))
3425, 33anbi12d 742 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))) ↔ ((𝑃 𝑄) ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ (𝑅 𝑆) ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
35 simpl1 1056 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
365, 14, 6hlatjcl 33467 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
3735, 36syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
385, 14, 6hlatjcl 33467 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
391, 26, 29, 38syl3anc 1317 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
405, 23, 14latjle12 16831 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 𝑄) ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ (𝑅 𝑆) ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ↔ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))
413, 37, 39, 22, 40syl13anc 1319 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ (𝑅 𝑆) ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ↔ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))
4234, 41bitrd 266 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))) ↔ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))
43 simp1l 1077 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)))
44 simp1r 1078 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
45 simp2 1054 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊))
46 simp3 1055 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
4723, 14, 64atlem12b 33711 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))
4843, 44, 45, 46, 47syl121anc 1322 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))
49483exp 1255 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊) → (((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
505, 14latj4rot 16871 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑃)) = ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)))
513, 11, 28, 31, 8, 50syl122anc 1326 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑃)) = ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)))
52513ad2ant1 1074 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑃)) = ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)))
531, 9, 263jca 1234 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴))
5429, 4, 123jca 1234 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑆𝐴𝑃𝐴𝑇𝐴))
55 simpl3 1058 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴))
5653, 54, 553jca 1234 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)))
57563ad2ant1 1074 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)))
58 simpr 475 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
5923, 14, 64noncolr3 33553 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆)))
6035, 26, 29, 58, 59syl121anc 1322 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆)))
61603ad2ant1 1074 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆)))
62 simp2 1054 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ¬ 𝑄 ((𝑈 𝑉) 𝑊))
63 simprlr 798 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))
64 simprrl 799 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → 𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))
6563, 64jca 552 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → (𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))
66 simprrr 800 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))
67 simprll 797 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → 𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))
6865, 66, 67jca32 555 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ((𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
69683adant2 1072 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ((𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
7023, 14, 64atlem12b 33711 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑃𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ ((𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) ∧ ((𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑃)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))
7157, 61, 62, 69, 70syl121anc 1322 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑃)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))
7252, 71eqtr3d 2645 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))
73723exp 1255 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑄 ((𝑈 𝑉) 𝑊) → (((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
7449, 73jaod 393 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∨ ¬ 𝑄 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → (((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
755, 14latjcom 16828 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑅 𝑆) (𝑃 𝑄)))
763, 37, 39, 75syl3anc 1317 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑅 𝑆) (𝑃 𝑄)))
77763ad2ant1 1074 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑅 𝑆) (𝑃 𝑄)))
781, 26, 293jca 1234 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴))
794, 9, 123jca 1234 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑇𝐴))
8078, 79, 553jca 1234 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)))
81803ad2ant1 1074 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)))
8223, 14, 64noncolr2 33554 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑃 (𝑅 𝑆) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑅 𝑆) 𝑃)))
8335, 26, 29, 58, 82syl121anc 1322 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑃 (𝑅 𝑆) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑅 𝑆) 𝑃)))
84833ad2ant1 1074 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑃 (𝑅 𝑆) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑅 𝑆) 𝑃)))
85 simp2 1054 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ¬ 𝑅 ((𝑈 𝑉) 𝑊))
86 simprr 791 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))
87 simprl 789 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → (𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))
8886, 87jca 552 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ((𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
89883adant2 1072 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ((𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
9023, 14, 64atlem12b 33711 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ ((𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑃 (𝑅 𝑆) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑅 𝑆) 𝑃)) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) ∧ ((𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ((𝑅 𝑆) (𝑃 𝑄)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))
9181, 84, 85, 89, 90syl121anc 1322 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ((𝑅 𝑆) (𝑃 𝑄)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))
9277, 91eqtrd 2643 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))
93923exp 1255 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑅 ((𝑈 𝑉) 𝑊) → (((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
945, 14latj4rot 16871 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑆 𝑃) (𝑄 𝑅)))
953, 8, 11, 28, 31, 94syl122anc 1326 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑆 𝑃) (𝑄 𝑅)))
96953ad2ant1 1074 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑆 𝑃) (𝑄 𝑅)))
971, 29, 43jca 1234 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑃𝐴))
989, 26, 123jca 1234 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑇𝐴))
9997, 98, 553jca 1234 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑃𝐴) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)))
100993ad2ant1 1074 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑃𝐴) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)))
10123, 14, 64noncolr1 33555 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑆𝑃 ∧ ¬ 𝑄 (𝑆 𝑃) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑆 𝑃) 𝑄)))
10235, 26, 29, 58, 101syl121anc 1322 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑆𝑃 ∧ ¬ 𝑄 (𝑆 𝑃) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑆 𝑃) 𝑄)))
1031023ad2ant1 1074 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → (𝑆𝑃 ∧ ¬ 𝑄 (𝑆 𝑃) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑆 𝑃) 𝑄)))
104 simp2 1054 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ¬ 𝑆 ((𝑈 𝑉) 𝑊))
10566, 67jca 552 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → (𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))
106105, 63, 64jca32 555 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ((𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
1071063adant2 1072 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ((𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
10823, 14, 64atlem12b 33711 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑃𝐴) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ ((𝑆𝑃 ∧ ¬ 𝑄 (𝑆 𝑃) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑆 𝑃) 𝑄)) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) ∧ ((𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ((𝑆 𝑃) (𝑄 𝑅)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))
109100, 103, 104, 107, 108syl121anc 1322 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ((𝑆 𝑃) (𝑄 𝑅)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))
11096, 109eqtrd 2643 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∧ ((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))
1111103exp 1255 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑆 ((𝑈 𝑉) 𝑊) → (((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
11293, 111jaod 393 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((¬ 𝑅 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) → (((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
11326, 29, 133jca 1234 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑈𝐴))
11417, 18jca 552 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑉𝐴𝑊𝐴))
11523, 14, 64atlem3 33696 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∨ ¬ 𝑄 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) ∨ (¬ 𝑅 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ((𝑈 𝑉) 𝑊))))
11635, 113, 114, 58, 115syl31anc 1320 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((¬ 𝑃 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∨ ¬ 𝑄 ((𝑈 𝑉) 𝑊)) ∨ (¬ 𝑅 ((𝑈 𝑉) 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ((𝑈 𝑉) 𝑊))))
11774, 112, 116mpjaod 394 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))) ∧ (𝑅 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))
11842, 117sylbird 248 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  lecple 15721  joincjn 16713  Latclat 16814  Atomscatm 33364  HLchlt 33451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-lat 16815  df-clat 16877  df-oposet 33277  df-ol 33279  df-oml 33280  df-covers 33367  df-ats 33368  df-atl 33399  df-cvlat 33423  df-hlat 33452  df-llines 33598  df-lplanes 33599  df-lvols 33600
This theorem is referenced by:  4at  33713
  Copyright terms: Public domain W3C validator